资源描述：
《考研数学容易混淆的概念辨析归纳》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断例1：判断命题是否正确．若，且序列的极限存在，解答：不正确．在题设下只能保证，不能保证．例如：，，而．例2．选择题设，且（）A．存在且等于零B.存在但不一定等于零C．不一定存在D.一定不存在答：选项C正确分析：若，由夹逼定理可得，故不选A与D.取，则，且，但不存在，所以B选项不正确，因此选C．例3．设（）A．都收敛于B.都收敛，但不一定收敛于C．可能收敛，也可能发散D.都发散答：选项A正确．分析：由于，得，又由及夹逼定理得因此，，再利用得．所以选项A．
2、二、无界与无穷大无界：设函数的定义域为，如果存在正数，使得则称函数在上有界，如果这样的不存在，就成函数在上无界；也就是说如果对于任何正数，总存在，使，那么函数在上无界．无穷大：设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数（不论它多么大），总存在正数（或正数），只要适合不等式（或），对应的函数值总满足不等式则称函数为当（或）时的无穷大．例4：下列叙述正确的是：②①如果在某邻域内无界，则②如果，则在某邻域内无界解析：举反例说明．设，令，当时，，而故在邻域无界，但时不是无穷大量，则①
3、不正确．由定义，无穷大必无界，故②正确．结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．三、函数极限不存在极限是无穷大当（或）时的无穷大的函数，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．例5：函数，当时的极限不存在．四、如果不能退出例6：，则，但由于在的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论在的极限．结论：如果，且在的某一去心邻域内满足，则．反之，为无穷大，则为无穷小。五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要
4、注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。例7．求极限解：，因而时极限不存在。，因而时极限不存在。六、使用等价无穷小求极限时要注意：（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换例8：求极限分析一：若将写成，再用等价无穷小替换就会导致错误。分析二：用泰勒公式原式。例9：求极限解：本题切忌将用等价代换，导致结果为1。七、函数连续性的判断（1）设在间断，在连续，则在间
5、断。而在可能连续。例10．设，，则在间断，在连续，在连续。若设，在间断，但在均连续。（2）“在点连续”是“在点连续”的充分不必要条件。分析：由“若，则”可得“如果，则”，因此，在点连续，则在点连续。再由例10可得，在点连续并不能推出在点连续。（3）在连续，在连续，则在连续。其余结论均不一定成立。第二章导数与微分一、函数可导性与连续性的关系可导必连续，连续不一定可导。例11．在连读，在处不可导。二、与可导性的关系（1）设，在连续，则在可导是在可导的充要条件。（2）设，则是在可导的充要条件。三、一元函数可导函数与不可
6、导函数乘积可导性的讨论设，在连续，但不可导，又存在，则是在可导的充要条件。分析：若，由定义反之，若存在，则必有。用反证法，假设，则由商的求导法则知在可导，与假设矛盾。利用上述结论，我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。四、在某点存在左右导数时原函数的性质（1）设在处存在左、右导数，若相等则在处可导；若不等，则在连续。（2）如果在内连续，，且设则在处必可导且。若没有如果在内连续的条件，即设，则得不到任何结论。例11．，显然设，但，，因此极限不存在，从而在处不连续不可导。第三章微分中值定理与导数的应用一、若若，不
7、妨设，则，再由微分中值定理同理，当时，若，再由微分中值定理同理可证时，必有第八章多元函数微分法及其应用8.1多元函数的基本概念1.,,使得当,且时,有,那么成立了吗?成立,与原来的极限差异只是描述动点与定点的接近程度的方法不一样,这里采用的是点的矩形邻域,,而不是常用的圆邻域,事实上这两种定义是等价的.2.若上题条件中的条件略去,函数就在连续吗?为什么?如果条件没有,说明有定义,并且包含在该点的任何邻域内,由此对,都有,从而,因此我们得到,即函数在点连续.3.多元函数的极限计算可以用洛必塔法则吗?为什么?不可以,
8、因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.8.2偏导数1.已知,求令,那么解出,得,所以或者8.3全微分极其应用1.写出多元函数连续,偏导存在,可微之间的关系偏导数,连续Z可微连续极限存在偏导数,连续偏导数,存在2.判断二元函数在原点处是否可微.对于函数,先计算两个偏导数:又令,则上式为因而在原点处可微.8.4多元复合函数的求导法则1.设,可微,求.8.5隐函数的求导1.设
