浦东新王牌暑假班上海数学暑假班晋s数列的概念与简单表示法

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1、数列的概念与简单表示法【知识点讲解】一、数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中每一个数叫作这个数列的项.项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列，数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（也称为首项），依此下去，通常记为简记为.二、数列的通项公式1、定义：如果数列的第项与项数之间的函数关系可以用一个公式来表示，我们把这个公式叫作这个数列的通项公式.2、数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这

2、个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法.3、注意事项通项公式是数列的一种重要表示方法，但并不是所有数列都有通项公式，并且有些数列的通项公式并非唯一.例如：的通项公式可写为，还可以写成若已知通项公式，可将代入，求出数列各项，还可以判断某数是否为该数列的项及哪一项.三、数列与函数的关系在数列中，对于每一个正整数都有一个数与之对应，因此，在函数的意义下，数列可以看成是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数，当自变量从1开始依次取自然数时，所对应的一列函数值为，简记为.四、数列的分类（1）根据项数是有限还是无限来分有穷数列：项数有限的数列.无穷数列：项

3、数无限的数列.（2）根据项的增减规律来分递增数列：从第二项起每一项都大于它的前一项.递减数列：从第二项起每一项都小于它的前一项.常数列：各项均相等的数列.摆动数列：从第二项起，有些项大于前一项，有些项小于前一项，如：递增数列和递减数列统称为单调数列，非单调数列有摆动数列、常数列等.（3）根据任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分有界数列：若为常数）无界数列：若使得.五、数列的表示法（1）列举法：如2，4，6，8，…….（2）图像法：用表示函数图像上一群孤立的点，这些点的个数可以是无限的，也可是有限的.（3）解析法：用通项公式表示，如（4）递推公式法：用表示数

4、列的后项与前项（前几项）关系的式子来表示数列.如，；六、数列的前项和公式：（1）前项和与通项的基本关系为:七、数列的单调性（1）根据定义：若，则为递增数列；若，则为递减数列；（2）作商比较：（前提是各项均为正数，），若，则递增（或减）.八、数列的最值（1）若为最大项；若为最小项.（2）构造函数，先确定单调性，再求最值.【例题】例1.数列的一个通项公式是。1.提示：观察和对应项数的关系，不难发现，…，一般地，例2.数列的一个通项公式是。2.。提示：这类题应解决两个问题，一是符号,可考虑（-1）n或（-1），二是分式，分子是n，分母n+1。故.例3.将正偶数按下

5、表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224…………2826则2006在第行，第列。3．第251行，第4列.提示：由题意知每列4个数，1003=4×250+3,故2006在第251行。又由奇数行的特点知应该是第4列。例4.已知{an}是递增数列，且对任意nN+，都有an=n2+n恒成立，则实数的取值范围是。4.。提示：常见的错解：an是一个特殊的二次函数，要保证在n取自然数时单调递增，只须-1，即-2。本题错误的原因在于机械地套用了函数的性质，忽略了数列的离散性的特点。正解如图，只要-<,即>-3时就适

6、合题意。例5.观察下列不等式：，，，，，，由此猜想第个不等式为▲.5.。提示：本题是归纳推理问题，注意到3=22-1，7=23-1，15=24-1，1=，2=，故猜想：。点评：归纳推理的关键是找到式子变化的共同点和不同点。例6.若数列{an}满足an+1=则a20的值是6．.提示：。∴数列是周期为3的数列，∴.例7.已知数列{an}中，an=，求数列{an}的最大项.解:考察函数,因为直线为函数图象的渐近线,且函数在上单调递减，在上单调递减，所以当且最接近15.6且时,最大,故最大,即第16项最大.例8.设向量a=（），b=（）（），函数a·b在[0，1]上

7、的最小值与最大值的和为，又数列{}满足：．（1）求证：；（2）求的表达式；（3），试问数列{}中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有≤成立？证明你的结论.解（1）证明：a·b=，因为对称轴,所以在[0，1]上为增函数，。（2）解：由得两式相减得，当时，当≥2时，即（3）解：由（1）与（2）得设存在正整数，使得对于任意的正整数，都有≤成立，当时，当≥2时，，所以当时，，当时，，当时，所以存在正整数，使得对于任意的正整数，都有≤成立．例9.数列的通项公式是。1.an=.提示……因此，an=.例10.数列{an}满足a1=2，an+1=-，求a2008。2

8、.解由an+1=-，得an+2=-=-=-.an+3