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1、动态规划解最长公共子序列问题2009-05-3021:2836702人阅读评论(36)收藏举报c算法动态规划法经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题,而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题,并综合子问题的解导出大问题的解的方法,问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。为了节约重复求相同子问题的时间,引入一个数组,不管它们是否对最终解有用,把所有子问题的解存于该数组中,这就是动态规划法所采用的基本方法。【问题】求两字符序列的最长公共字符子序列问题描述:字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地(
2、不一定连续)去掉若干个字符(可能一个也不去掉)后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0,x1,…,xm-1”,序列Y=“y0,y1,…,yk-1”是X的子序列,存在X的一个严格递增下标序列,使得对所有的j=0,1,…,k-1,有xij=yj。例如,X=“ABCBDAB”,Y=“BCDB”是X的一个子序列。考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题,设A=“a0,a1,…,am-1”,B=“b0,b1,…,bm-1”,并Z=“z0,z1,…,zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以
3、下性质:(1)如果am-1=bn-1,则zk-1=am-1=bn-1,且“z0,z1,…,zk-2”是“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列;(2)如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=am-1,蕴涵“z0,z1,…,zk-1”是“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列;(3)如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=bn-1,蕴涵“z0,z1,…,zk-1”是“a0,a1,…,am-1”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子
4、序列。这样,在找A和B的公共子序列时,如有am-1=bn-1,则进一步解决一个子问题,找“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bm-2”的一个最长公共子序列;如果am-1!=bn-1,则要解决两个子问题,找出“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0,a1,…,am-1”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列,再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。 求解:引进一个二维数组c[][],用c[i][j]记录X[i]与Y[j]的LCS的长度,b
5、[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的,以决定搜索的方向。我们是自底向上进行递推计算,那么在计算c[i,j]之前,c[i-1][j-1],c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i]=Y[j]还是X[i]!=Y[j],就可以计算出c[i][j]。问题的递归式写成:回溯输出最长公共子序列过程: 算法分析:由于每次调用至少向上或向左(或向上向左同时)移动一步,故最多调用(m+n)次就会遇到i=0或j=0的情况,此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反,步数相同,故算法时间
6、复杂度为Θ(m+n)。 代码: #include #include #define MAXLEN 100void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])...{ int i, j; for(i = 0; i <= m; i++) c[i][0] = 0; for(j = 1; j <= n; j++) c[0][
7、j] = 0; for(i = 1; i<= m; i++) ...{ for(j = 1; j <= n; j++) ...{ if(x[i-1] == y[j-1]) ...{ c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1; b[i][j] = 0; } else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
8、 ...{ c[i][j] = c[i-1][j]; b[i][j] = 1; } else ...{ c[i][j] = c[i][j-1]; b[i][
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