动态规划解最长公共子序列问题

《动态规划解最长公共子序列问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、动态规划解最长公共子序列问题2009-05-3021:2836702人阅读评论(36)收藏举报c算法动态规划法经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。【问题】求两字符序列的最长公共字符子序列问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（

2、不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以

3、下性质：（1）如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；（2）如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；（3）如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子

4、序列。这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。  求解：引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j]的LCS的长度，b

5、[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i]=Y[j]还是X[i]!=Y[j]，就可以计算出c[i][j]。问题的递归式写成：回溯输出最长公共子序列过程： 算法分析：由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m+n)次就会遇到i=0或j=0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间

6、复杂度为Θ(m+n)。  代码： #include #include #define MAXLEN 100void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])...{    int i, j;        for(i = 0; i <= m; i++)        c[i][0] = 0;    for(j = 1; j <= n; j++)        c[0][

7、j] = 0;    for(i = 1; i<= m; i++)    ...{        for(j = 1; j <= n; j++)        ...{            if(x[i-1] == y[j-1])            ...{                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;                b[i][j] = 0;            }            else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])  

8、          ...{                c[i][j] = c[i-1][j];                b[i][j] = 1;            }            else            ...{                c[i][j] = c[i][j-1];                b[i][