计数原理与排列组合、概率及概率分布知识概述

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1、一、计数原理与排列组合解决计数应用题时，要认真审题，弄清楚问题的背景：①搞清问题是否“有序”，即不同元素间是否有先后顺序、位置差异或识别区分，从而分清是排列问题还是组合问题；②弄清目标的实现是该分步实行还是需要分类研究，复杂的问题一般是先按元素的性质分类，再按事件发生的连续过程分步，操作上一般遵循先选元素（组合）后排列的原则．分类时要明确标准，做到不重复不遗漏，类与类之间是“互斥”关系，而分步时要注意各步间的连续性；③准确分清弄清题目中的关键字眼，如“在”与“不在”，“相邻”与“不相邻”，“至少”与“至多”，“有”与“恰好有”等．复杂的计数问题常常

2、通过枚举试验、列表画图（树形图）、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径；或者利用转化的思想，把问题转化为若干简单的基本问题后再用两个原理去求解．由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验，例如，“正面算”与“反面剔”等．提倡一题多解．常见的解题策略有：⑴特殊元素特殊位置优先安排⑵相邻元素捆绑法（内部先排，团体与其他元素一起再排）（不全相邻，排除处理）⑶不相邻问题插空法（其他元素先排得空，不相邻元素插空）（相间排列，定位处理）⑷顺序一定问题他人先坐法（只要先将其他元素安排就座，顺序一定元素再依序入座）或者，顺序一定问

3、题用“除法”（先全体元素全排，再除以顺序一定元素的全排）⑸多面手问题集合法（画出韦恩图，按某一类的元素入选情况分类）⑹“至多”、“至少”问题分类处理或间接排除⑺分排问题直排处理；混合问题先选后排；复杂问题穷举画图，分类讨论，间接排除，构造处理⑻有序分组（组有标识区别或个数有差异）依次分配；无序均分（组无区分）先分配再除法；（防止重复，体会“分步乘法即有序”）各组元素个数不定问题先依次分配再乘法处理．⑼个数不定的分类组合（每组至少一个）问题，隔板处理⑽相同元素隔板处理（无限制要求的一字排开，隔板（代表限制元素）插空）（或者把无限制元素理解成顺序一定）

4、二、古典概型古典概型的特征：⑴基本事件是有限的；⑵基本事件都是等可能的．7解决古典概型的基本步骤：明确所有基本事件，确定它们是等可能的，确定它们的个数，确定事件包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式计算概率．在古典概型中，难点之一是从怎样的角度看基本事件，选择最优的方式解决；难点之二是计数问题，涉及到是排列还是组合的问题．古典概型的解题规范：①建立计数模型，并确定总的（等可能）基本事件数；（建模方法：标识编号并枚举/列图表/画树形图/排列组合模型）②交代等可能性：“每个基本事件的发生是等可能的”；③标记所求事件，并确定事件包含的基本事件数

5、；④由古典概型的概率计算公式，计算的值；⑤答：所求事件发生的概率是．三、几何概型几何概型的特征：⑴基本事件是无限的；⑵基本事件都是等可能的；几何概型的概率计算公式．在几何概型中，应紧紧抓住“基本事件是点”这条主线，难点是将一些实际问题转化成几何概型问题．解题中要关注等可能的切入维度，关注随机点需要几个变量来控制（一维线段长度、二维平面区域面积、三维空间体积）．几何概型的解题规范：①标记所求事件；②建立几何模型，交代随机点出现在区域内任一点处是等可能的；③确定几何区域和（当且仅当随机点落在区域内时事件发生）；④计算和的测度，由几何概型的概率计算公式，

6、计算概率；⑤答：所求事件发生的概率是．四、互斥事件与对立事件互斥（对立）事件的概率解题规范：①标识相关互斥事件、等（常标识至每个单位互斥事件）；②交代事件、等彼此互斥；③计算出各相关互斥事件的概率、等；7④标记所求和事件，由互斥事件的概率加法公式计算；或者，标记所求对立事件，由对立事件的概率公式，计算；⑤答：所求事件发生的概率是．五、随机变量的概率分布列随机变量是随机事件的数量化，把随机实验的每一个可能出现的结果（基本事件）对应于一个实数，即用一个数来表示一个结果，这样就建立了从随机实验的每一个可能的结果的集合到实数集的映射．引进随机变量后，了解随

7、机现象的规律转化为了解随机变量的所有可能取值以及随机变量取各个值的概率（也就是随机变量的概率分布列）．由于随机现象所有可能的结果的集合对应的事件是一个必然事件，概率是，而每一次实验结果是的一个“元素”，故随机变量所有取值对应的概率和为．求随机变量的概率分布列的步骤：①明确随机变量的所有取值；②指出随机变量取每个值所表示的意义；③利用古典概型的知识求出随机变量取每个值的概率；④按规范给出随机变量的概率分布（列）表．六、超几何分布超几何分布模型的特征：①研究的是两类对象，一类看作正品，一类看作次品（与要发生的事件相关，数目较少）；②每类对象的数目确定（

8、次品件，正品件，总产品共件）；③从中抽取件，即无放回的抽样考察；④研究取出某类对象的个数的概率分布（随机变量为抽到次品的件