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《抽象函数是指函数的三种表示法(经典)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、抽象函数是指函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法均未给出，只给出函数记号f(x)的一类函数.这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。下面谈谈这类问题常见的几种解法：一、赋值法先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y)=f(x)+f(y)+x对任意自然数x,y恒成立，且f(1)=1，求f(
2、x)的解析式。分析:当令y=1时,可得f(x＋1)=f(x)＋x＋1,这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。解：令y=1,则f(x+1)=f(x)+f(1)+x=f(x)+x+1，∴f(1)=1f(2)=f(1)+2f(3)=f(2)+3…f(n)=f(n－1)+n各式相加得：f(n)=1+2+3+…+n=∴f(x)=例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x－y)=2f(x)·f(y)，x∈R,y∈R,且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。分析:当令x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。证明：令x=y=0∴f(0)+f
3、(0)=2f2(0)∵f(0)≠0,∴f(0)=1令x=0,则f(y)+f(－y)=2f(0)·f(y)∴f(－y)=f(y),∵y∈R,∴f(x)是偶函数例3已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，对任意x>0,y>0恒有f(xy)=f(x)+f(y)求证：当x>0时,f()=－f(x)分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x·)可求得。证明：令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，∴f(1)=0又令y=，x>0，则f(1)=f(x)+f()∴f(x)+f()=0即f()=－f(x)二定义法在熟练掌握函数的定义、性质的基础上，对题中抽
4、象函数给出的条件进行分析研究，运用定义、性质进行化简、变形，寻找解决问题的方法。例4函数f(2x)的定义域是[－1,1],则f(x)定义域为f(log2x)定义域为___________分析:认真理解复合函数定义域的定义,区分好题中三个定义域所指的变量x。解：∵－1≤x≤1∴≤2x≤2∴f(x)定义域为[,2]∴≤log2x≤2∴≤x≤4∴f(log2x)定义域为[,4]例5已知f(x)是周期为2的偶函数，且在区间[0,1]上是增函数，则f(－6.5)、f(－1)、f(0)的大小关系为_________________分析:利用周期性,把各个变量表示在同一区间内,再结合
5、其单调性,求出相应的函数值,比较大小。解：∵f(x)是周期为2的偶函数∴f(－6.5)=f(－6.5+3×2)=f(－0.5)=f(0.5)f(－1)=f(1)又∵f(x)在[0,1]上是增函数，∴f(0)6、lg(10x+1)(1)又∵g(x)是奇函数，h(x)是偶函数∴g(－x)+h(－x)=f(－x)即－g(x)+h(x)=f(－x)=－lg(10x+1)(2)由(1)、(2)得g(x)=,h(x)=lg(10x+1)－三、穿脱法解决这类抽象函数，通常是根据函数变量相等、函数值相等或单调性、奇偶性、周期性等性质，对函数进行“穿脱”，从而达到相应的目的.常见的方法是变量代换。例7已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+x),求当x<0时，f(x)的解析式。分析:利用变量间的代换,把x<0表示成－x>0,先求出相应f(－x),再结合函数的奇偶性,求出f(x)。解
7、：令x<0，即－x>0∴f(－x)=(－x)(1－x)又∵f(x)是奇函数∴－f(x)=－x(1－x)∴f(x)=x(1－x)例8已知f(x)是周期为2的函数，且在区间[－1,1]上表达式为f(x)=－x＋1则在[2k+1,2k+3],k∈Z上的表达式为_________分析:利用周期性把要求区间转化为已知的区间,结合条件求出表达式。解：设t∈[－1,1]，则2k+2+t∈[2k+1,2k+3],令T=2k+2+t，则t=T－2k－2又∵f(x)是周期为2的函数∴f(2k+x)=f(x)∴f(T)=f(2k+2+t)=f(t)=－t+1=
