具有结构无关时变不确定性的新一类线性系统的二次可镇定性

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1、具有结构无关时变不确定性的新一类线性系统的二次可镇定性胡三清王军自动化与计算机辅助工程系，香港新界沙田香港中文大学1998年10月12日初稿，2000年2月23日修改，2000年5月3日发表摘要：本文研究设计一个线性状态反馈控制镇定新一类型的单输入不确定性的线性动态系统。在给定的压缩集系统矩阵中不确定性参数是时变和有界的。我们首先提供了一个概念称为“新标准系统”，其中一些输入要求负号不变和符号不变，并且每个输入在任意大的范围内独立变化，然后对于新一类的标准系统我们得到在一个充分必要条件下，对所有容许的不确定性变化系统可由线性控制实现二次镇定。主要结果的延伸见魏（电气电

2、子工程师协会自动控制会刊，35（3），268-277,1992年）。©爱思唯尔科技有限公司版权所有。关键词：二次可镇定性，NAS结构，单输入，时变，线性系统1引言近年来，稳定一个不确定动态系统一直是一个非常活跃的研究领域。比方说，一般的线性矩阵不等式条件由Boyd,EIGhaoui,Feron和Balakrishnan（1994年）提出的和由张、胡、戴、京、张、魏等人提出的特殊几何结构。这篇文章中，我们研究参数是时变的和指定的有界紧致集的不确定性动态系统。我们使用一个二次的李雅普诺夫函数来建立一个闭环系统的稳定性，原则上，二次的镇定问题可以用Boyd提出的线性矩阵不等

3、式条件解决，这也是一各可利用的有效算法。然而，这些条件需要检查指数中不确定参数的不等式，因此，线性矩阵不等式的数字结果不能够被处理除非这个问题的结构非常小。基于这个问题，有必要提出一些简便的方法去解决二次镇定问题。通常来说，二次镇定的方法有两类。在第一类方法中，在系统矩阵中的不确定性通常允许在充分小的范围内变化，因此被视为扰动（见Petersen和Hollot，1986年），一旦不确定性的数值超过指定范围，系统可能不再稳定。在第二类方法中，与之相反的是，系统矩阵可能会有一些任意大的变化条件。为了确保一个不确定性系统的鲁棒可镇定性，系统矩阵中的不确定性必须被限定在诸如“

4、匹配条件”（见Pertersen，1988年），“通常匹配条件（见Thorp和Barmish，1981年）”和“容许置乱”结构（见Barmish，1982年）。这些都是充分条件。魏（1990年）指出所有的稳定性系统满足这些充分条件，属于一个被称这为所对称逐步结构特定几何类型的一些系统子集。由魏给出的推广的反对称逐步结构在多输入系统中作为充分条件。两种特殊几何类型在确保系统的鲁棒镇定中起至关重要的作用。此后，许多作者关注魏，并且引入新几何类型，如Tsujino提出的“普通AS结构”，Fujii和魏（1993年）作为一个必要条件；由杨张二人（1996年）提出的“强AS结构

5、”和由胡（1997年）提出的“多输入AS结构”作为充分条件。这些特殊几何类型提供了方便的方法来解决二次镇定的问题。本文讨论第二类方法。2预备知识考虑一个线性时变不确定系统Σ(A(q(t)),b(q(t)))（或简写为不确定系统Σ(A(q),b(q))）由状态方程描述为（1）其中x(t)∈Rn是状态，u(t)∈R是控制，q(t)∈Rp是被限定在指定有界紧致集Q的不确定模型勒贝格可测集。在这个框架内，A(·)和b(·)分别为n×n矩阵和(n×1)矩阵集合Q中的连续矩阵函数。因此，对于恒定的q∈Q,A(q)和b(q)是模型矩阵的结果。本文中，除非特别说明，我们假定A

6、(q)和b(q)取决于q的不同的组成部分，即，我们有q=[r:s]′，这里A(·)仅取决于r，b(·)仅取决于s。后来，为了简便记数，我们通常用θ(或 )来表示一个符号不变或负号不变的不确定项。注意θ(或 )在不同的项中不一定是相同的q函数。I或者In表示单位矩阵，实矩阵的范数是MTM的最大特征的平方根。λmin(max)[·]也表示经运算所得的最小（最大）特征值。M(i:j)表示n×n不确定矩阵的2×2子矩阵（或者当i=j时为1×1），这里M(q)由定义。其中，1≤i≤j≤n.*项在任意矩阵中通常表示0或者不确定项。定义2.1一个不确定系统Σ(A(q),b(

7、q))称为关于Q的二次可镇定（QS）如果存在一个n×n正定对称矩阵P，一个正常数α,和一个连续反馈控制律：，当u(0)=0满足以下条件，任给容许的不确定q(·)，由此得出以下结论（2）对于全对偶测试法(x,t)∈Rn×[0,+∞).L(x,t)是李雅普诺夫导数的相关李雅普诺夫函数V(x)=xTPx。此外，Σ(A(q),b(q))被称为是可通过线性控制来二次镇定（QSVLC）关于Q当u(x)=Kx,这里K是一个n维常数列向量。定义2.2一个（n+1）×（n+1）阶不确定矩阵，如果存在两个整数i*和j*满足0≤i*≤n，0≤j*≤n和1≤i*+j*≤n以