从函数的角度去研究数列

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时间:2018-04-08

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1、从函数视角研究数列沪教版高二年级第一学期课本中第6页写道:“从函数的观点看,数列可以看成是以正整数集(或其子集)为定义域的函数。”数列是一个定义在正整数集(或其子集)上的特殊函数。从这个意义上看,它丰富了学生所接触的函数概念的范围,引导学生利用函数去研究数列问题,能使解数列的问题更有新意和综合性,更能有效地培养学生的思维品质和创新意识。因此我们在解决数列问题时,应充分利用函数的有关知识,以函数的概念、图像、性质为纽带,架起函数与数列之间的桥梁,揭示它们之间的内在联系,从而有效地解决数列问题。一、         数列通项公式

2、、求和公式与函数关系通过对数列中的通项公式以及前n项和公式等这些特殊的函数关系的概念理解与分析,引导学生充分认识,和n的对应关系,从而利用概念,鼓励学生主动探究,挖掘出数列通项公式、求和公式与函数的内在联系,使学生知识系统化,培养学生数学整体意识,用联系发展的眼光学习数学。在教学实践过程中,通过学生的自主学习,发挥他们的主体作用,归纳出数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下:数列通项公式对应函数等差数列(时为一次函数)等比数列(指数型函数) 数列前n项和公式对应函数等差数列(时为二次函数)等比数列(指数型函数) 我们用函数

3、的观点揭开了数列神秘的“面纱”,将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数,为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。例1:等差数列中,,则      分析:因为是等差数列,所以是关于n的一次函数,一次函数图像是一条直线,则(n,m),(m,n),(m+n,)三点共线,所以利用每两点形成直线斜率相等,即,得=0(图像如下),这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系,并结合图像,直观、简洁。 例2:等差数列中,,前n项和为,若,n为何值时最大?分析:等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=,是抛物线=上的离散点,根

4、据题意,,则因为欲求最大值,故其对应二次函数图像开口向下,并且对称轴为,即当时,最大。     例3:等差数列和等比数列首项均为1,且公差不等于1,公比,则集合{(n,an)

5、}一定含有元素        分析:等差数列,由于首项为1,即,所以它的图像是必过(1,1)的一条直线,而等比数列首项为1,公比为q,,故,它表示指数函数图像向右平移一个单位得到,必过(1,1),所以此集合中必定含有元素(1,1)。  二、构建函数,揭示数列本质新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方法。而学会构建函数,一方面体现了学生在学习过程中的体

6、验、思考与参与,另一方面也培养了学生的思维品质和创新意识。在构建函数之后,我们需要利用函数的概念和性质来解决问题。函数基本性质包括了奇偶性、单调性、周期性,最值性等等。在数列学习中渗透函数思想,不仅可以进一步巩固函数知识,而且可以拓宽学生解决数列问题的视野。1、 构造具体函数,成功“转化”例4:递增数列,对任意正整数n,恒成立,求分析:构造一次函数,由数列递增得到:对于一切恒成立,即恒成立,所以对一切恒成立,设,则只需求出的最大值即可,显然有最大值,所以的取值范围是:。 构造二次函数,看成函数,它的定义域是,因为是递增数列,

7、即函数为递增函数,单调增区间为,抛物线对称轴,因为函数f(x)为离散函数,要函数单调递增,就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看,对称轴在的左侧也可以(如图),因为此时B点比A点高。于是,,得例5:数列通项,前30项中最大项和最小项分别是(C)A    B     C   D分析:构造特殊函数,将数列通项整理,“脱去外衣”(分离常数),得.该函数图象是经过坐标轴平移后的反比例函数图像(如图)。根据函数图像特点,判断出答案应选(C). 2、构造抽象函数,成功“突围”例6:已知数列满足,,则      分析:因为不清楚数列的具

8、体类型,所以仅仅利用数列的知识不容易解决,而此时我们从函数视角去考虑,就容易联想到函数的周期性。令,则那么函数满足①,则②,①+②,得,则,即函数周期为12…+…+=…-…-=0所以……=……+===3、数列应用题中构造函数,成功“解决”数列知识本身就是来源于实际问题,又被广泛应用于实际问题,带有情境的数列问题,不仅可以考察学生的综合能力,而且可以考察学生解决实际问题的能力。例6:在一次人才招聘会上,A、B两家公司分别开出它们的工资标准:A公司允诺第一年月工资为1500元,以后每年月工资比上一年月工资增加230元;B公司允诺

9、第一年月工资为2000元,以后每年月工资在上一年的基础上递增5%。设某人年初被A,B两家公司同时录用,试问:该人在A公司工作比在B公司工作的月工资最多时可高出多少元(精确到1元)?分析:由题意可知,此人在A、B两公司工作的第n年月工资数分别为其中问题是该人在A公司比在B公司工资每月高出部分

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