高三数学专题--三角函数与平面向量

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1、三角函数与平面向量三角函数的图象与性质考点1.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质．2.高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现．因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．3.三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考中加强了对三

2、角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练．基础训练1.函数y＝2sin2－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数．2.函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内的零点个数为________．3.函数f(x)＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f的值为___

3、_____．【例1】　设函数f(θ)＝sinθ＋cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.(1)若点P的坐标是，求f(θ)的值；(2)若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．【例2】　函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示．(1)求f(0)的值；(2)若0<φ<π，求函数f(x)在区间上的取值范围．【例3】　已知函数f(x)＝sin

4、(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．【例4】　已知函数f(x)＝2sin2－cos2x－1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；(3)当x∈时，不等式

5、f(x)－m

6、<3恒成立，求实数m的取值范围．1.(2011·江西)已知

7、角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.2.(2010·全国)函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．3.(2009·全国)函数y＝sincos的最大值为________．4.(2010·广东)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________．(2011·四川)已知函数f(x)＝2sinxcos

8、x＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值．5.(2009·福建)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，

9、φ

10、<.(1)若coscosφ－sinπsinφ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．(2009·重庆)(本小题满分13分)设

11、函数f(x)＝sin－2cos2＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值．解：(1)f(x)＝sinxcos－cosxsin－cosx＝sinx－cosx(3分)＝sin，(5分)故f(x)的最小正周期为T＝＝8.(7分)(2)(解法1)在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点为(2－x，g(x))．由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2

12、－x)＝sin＝sin＝cos.(10分)当0≤x≤时，≤x＋≤，因此y＝g(x)在区间上的最大值为g(x)max＝cos＝.(13分)(解法2)因区间关于x＝1的对称区间为，且y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于x＝1对称，故y＝g(x)在上的最大值为y＝f(x)在上的最大值，由(1)知f(x)＝sin，当≤x≤2时，－≤x－≤，因此y＝g(x)在上的最大值为g(x)max＝sin＝.(13分)三角变换与解三角形考点1.掌握三角函数的公式(同角三角函数关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)及应