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1、冰山运输的可行性分析
摘要从经济角度研究在9600千米以外的南极拖运冰山到波斯湾，将其化成冰水取代淡化的海水作为国民用水的问题，我们通过对建模数据的分析，进行了合理的假设，用微积分的方法建立了冰山运输的数学模型，并通过数学软件Matlab计算，我们得出可以选择合适的船速和冰山初始体积，使获得每立方米水的费用最小。关键词:冰山运输，数学模型，费用，融化速率一、问题重述在以盛产石油著称的波斯湾地区，浩翰的沙漠覆盖着大地，水资源十分贫乏，不得不采用淡化海水的办法为国民提供用水，成本大约是每立方米淡水0．1英镑．有些专家提出从相距960
2、0km之遥的南极用拖船运送冰山到波斯湾，以取代淡化海水的办法．这个模型要从经济角度研究冰山运输的可行性.为了计算用拖船运送冰山获得每立方米水所花费的费用，根据建模的需要，我们收集到有关数据资料。1．三种拖船的日租金和最大运量．102．燃料消耗(英镑／千米)．主要依赖于船速和所运冰山的体积，船型的影响可以忽略．3．冰山运输过程中的融化速率(即米／天)．指在冰山与海水、大气接触处每天融化的深度．融化速率除与船速有关外，还和运输过程中冰山与南极的距离有关，这是由于冰山要从南极运往赤道附近的缘故．建立模型的目的是选择拖船的船型和船速，使
3、冰山到达目的地后,可得到的每立方米水所花的费用最低，并与海水淡化的费用相比较。二、问题分析因为冰山的运输主要和拖船的租金、运量、燃料消耗及冰山运输过程中融化速率有关，为了适当的简化模型，我们可以忽略其他的次要影响，得以下模型结构图：10目的地水体积三、模型假设1．拖船航行过程中船速不变，航行不考虑天气等任何因素的影响．总航行距离9600km．2．冰山形状为球形，球面各点的融化速率相同．这是相当无奈的假设，在冰山上各点融化速率相同的条件下，只有球形的形状不变，体积的变化才能简单地计算．3．冰山到达目的地后，冰可融化成水．四、定义与
4、符号说明r：冰山球面融化速率（米/天）u：船速（km/h）d：拖船与南极的距离（km）t：拖船航行的天数R：冰山初始半径（km）R：第t天冰山半径(km)10V：冰山初始体积(m)V：第t天冰山体积(m)：燃料消耗（英镑/km）五、模型的建立要建立可行的冰山运输模型，首先需要知道冰山体积在运输过程中的变化情况，然后计算航行中的燃料消耗，由此算出到达目的地后的冰山体积和运费，在计算过程中根据收集到的数据拟合出经验公式，所以模型建立可分为以下几步。（1）冰山融化规律根据基本假设2把冰山看成球形，并且忽略接触点的融化问题，则他的各表面
5、的融化速率相同，并且形状始终不变，由此来建立冰山融化的模型记冰山球面半径融化速率为米／天，船速为km／h，拖船与南极距离为d=d(t)km．根据表5中融化速率的数据，可设是船速u的线性函数，且当0≤d≤4000km时r与d成正比，故可设r=d(1+bu),而当d>4000km时r与d无关，可设r=c(1+bu),又由假设船速u不变，所以有r(t)=（1）其中,b,c为待定参数．据表5数据可算得：（2）当拖船从南极出发航行第天时，与南极距离为d=24*u*t（3）10将（2），（3）代入(1)式，得（4）记初始球面半径为，初始体积
6、为，第t天冰山球面半径为，体积为,则（5）（6）由式（4）、（5）、（6）知，冰山体积是船速u,初始体积，和航行天数t的函数，记作V（u，，t），则（7）（2）燃料消耗费用由表4给出的燃料消耗(英镑／千米，记作)的数据可以看出，对船速和冰山体积的对数1g均按线性关系变化，所以可设=c*(u+c)*(lgV+c)(8)其中为待定参数．利用表4所给数据可以确定c=0.3,c=6,c=-1(9)由(7)～(9)式，可将拖船航行第t天的燃料消耗总费用记作q(u,V,t)(英镑／天)，且有q(u,V,t)==7.2u*(u+6)（10）（
7、3）运送冰山费用10费用由拖船的租金和燃料消耗两部分组成．由表3知船的日租金取决于船型，船型又由冰山的初始体积决定，记日租金为，显然有又因为当船速为（km/h）时冰山抵达目的地所需天数为，所以租金费用为．而整个航程的燃料消耗为，所以可得运送冰山的总费用为S(u,V)=+7.2u*(u+6)（12）（4）冰山运抵目的地后可获得水的体积将代人(7)式知，冰山运抵目的地后的体积为V(u,V,T)=)（13）由假设(3)，则得到水的体积为W(u,V)=()（14）（5）每立方米水所需费用记冰山运抵目的地后每立方米所需费用为y(u,V)，
8、由(12)，(14)式显然有y(u,V)=(15)10六、模型的求解这个模型归结为选择船速u和冰山初始体积，使(15)式表示的费用最小，其中由(12)式给出，由(14)式给出．由于是分段函数，只能固定一系列值对u求解．又因为由调查数据(表4，表5)得到的经验公式
