初中数学竞赛辅导资料（65）图象法

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1、初中数学竞赛辅导资料(65)图象法甲内容提要1.在第45讲（一元二次方程）中，根据根的判别式和根与系数的关系，介绍了存在实数根，有理数根，整数根的充分必要条件.2.要讨论两个实数根的符号，则可以建立不等式组.方程ax2+bx+c=0中，①有两个实数根的充分必要条件是②有两个正实数根的充要条件是(a≠0包含在之中)③有一正一负实数根的充要条件是(a≠0，△>0均已包含在内)④有一正一负实根且负根绝对值较大的充要条件是3.在较小区间内讨论实数根，则常利用图象来建立不等式组.4.一些含有绝对值符号的方

2、程、不等式的题解，也可借助图象.乙例题例1..已知：方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0的两个实数根x1,x2满足：00,　记作f(0)>0；1当x=1时，y<0,f(1)<0；　当x=2时，y>0,f(

3、2)>0.得不等式组　解这个不等式组得∴原不等式组解集是　－2

4、　　据图象分析当x=1时，y>0；顶点横坐标－>1；纵坐标≤0.得不等式组解这个不等式组得∴原不等式组解集是　－6

5、图如下：：1－11－1从图象分析：a<0；f(1)<0；0<－<1.得不等式组　　解这个不等式组　得∴不等式组解集是m>2.本题因抛物线的顶点横坐标，上下都有界，故不用顶点的纵坐标.例4.已知：方程x2+2px+6=0的两个实数根，一根大于1，另一根小于1.求：p的值.　　　　　解：根据抛物线y=x2+2px+6的开口向上，它与横轴的两个交点的大致位置，画出略图如下：1根据图象可知：f(1)<0；　　　　　　　顶点纵坐标<0.得不等式组解这个不等式组，　得∴不等式组解集是p<－7.　答(略)本题

6、因顶点横坐标无法定，故只有两个不等式.　其实只要f(1)<0就可以了.关键是建立充分必要条件的不等式组.注意：(1)若方程可求得有理数根时，则可以直接建立不等式组.如：例3　可得两个根为和；(2)若符合基本对称式，则可用韦达定理来解.如：例4　　可用x1－1>0,　x2－1<0建立不等式(x1－1)(,x2－1)<0.左边去括号后，再转化为关于p的不等式.例5.　a取什么值时，方程无解？②有3个解？③两个解？解：画出函数y=和y=a的图象，它们的交点就是方程的解.∵直线y=a平行于横轴.∴①当a

7、＜－1时，直线y=a与y=没有交点，即方程无解；②当a＝1时，直线y=1与.y=恰好有3个公共点，　　　　　即方程有3个解.；③.当a=－1或a>1时，y=a与y=都有2个公共点，就是方程有2个解.例6.　求代数式

8、x+1

9、+

10、x－1

11、+

12、x+2

13、　在－2

14、x+1

15、+

16、x－1

17、+

18、x+2

19、　的图象.由图象可知：当x=－1,　y有最小值3；当x=2时，y有最大值8.∴代数式

20、x+1

21、+

22、x－1

23、+

24、x+2

25、　有最大值8和最小值3.丙练习651.　一元

26、二次方程k2x2+2(k－1)x+1=0有两个实数根的充分必要条件是＿＿＿＿＿＿＿可列方程组：　　解得：___________2.　一元二次方程x2+(m+2)x+m+5=0有一正一负的实数根的充分必要条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，所以m的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿.3.　一元二次方程2x2+4mx+3m－1=0有两个负实数根的充分必要条件是＿＿＿＿＿＿，可列方程组：＿解得：＿＿＿＿＿＿.4.　已知一元二次方程（m+3x2－4mx+2m－1=0两个实数根异号且负根的绝对值较大.求m的值.5