初中数学竞赛精品标准教程附练习65:图象法

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(65)图象法一、内容提要1.在第45讲(一元二次方程)中,根据根的判别式和根与系数的关系,介绍了存在实数根,有理数根,整数根的充分必要条件.2.要讨论两个实数根的符号,则可以建立不等式组.方程ax2+bx+c=0中,①有两个实数根的充分必要条件是②有两个正实数根的充要条件是(a≠0包含在之中)③有一正一负实数根的充要条件是(a≠0,△>0均已包含在内)④有一正一负实根且负根绝对值较大的充要条件是3.在较小区间内讨论实数根,则常利用图象来建立不等式组.4.一些含有绝对值符号的方程、不等式的题解,也可借助图象.二、例题例1..已知:

2、方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实数根x1,x2满足:00, 记作f(0)>0;1当x=1时,y<0,f(1)<0; 当x=2时,y>0,f(2)>0.得不等式组 6解这个不等式组得∴原不等式组解集是 -2

3、个点的横坐标0,1,2和它所对应的纵坐标范围建立不等式组.例2. m取什么值时,方程x2+(m+2)x+3=0的两个根都大于1?解:根据抛物线y=x2+(m+2)x+3的开口向上;它在纵轴的交点为(0,3);与横轴的两个交点都在点(1,0)右边. 得图象的略图如下(左、右两图):1331                                  据图象分析当x=1时,y>0;顶点横坐标->1;纵坐标≤0.得不等式组解这个不等式组得∴原不等式组解集是 -6

4、一个特殊点,故用了抛物线的顶点横、纵坐标.例3.已知:方程(1-m2)x2+2mx-1=0的两个实数根都在0到1之间(不包括0和1).求:m的取值范围.解:函数y=(1-m2)x2+2mx-1的图象可由:①它在纵轴上的截距是-1;②与横轴的两个交点在0到1之间.6得知开口是向下的,画出略图如下::1-11-1从图象分析:a<0;f(1)<0;0<-<1.得不等式组  解这个不等式组 得∴不等式组解集是m>2.本题因抛物线的顶点横坐标,上下都有界,故不用顶点的纵坐标.例4.已知:方程x2+2px+6=0的两个实数根,一根大于1,另一根小于1.求:p的值.    

5、 解:根据抛物线y=x2+2px+6的开口向上,它与横轴的两个交点的大致位置,画出略图如下:1根据图象可知:f(1)<0;       顶点纵坐标<0.得不等式组解这个不等式组, 得∴不等式组解集是p<-7. 答(略)本题因顶点横坐标无法定,故只有两个不等式. 其实只要f(1)<0就可以了.关键是建立充分必要条件的不等式组.6注意:(1)若方程可求得有理数根时,则可以直接建立不等式组.如:例3 可得两个根为和;(2)若符合基本对称式,则可用韦达定理来解.如:例4  可用x1-1>0, x2-1<0建立不等式(x1-1)(,x2-1)<0.左边去括号后,再转化为

6、关于p的不等式.例5. a取什么值时,方程无解?②有3个解?③两个解?解:画出函数y=和y=a的图象,它们的交点就是方程的解.∵直线y=a平行于横轴.∴①当a<-1时,直线y=a与y=没有交点,即方程无解;②当a=1时,直线y=1与.y=恰好有3个公共点,     即方程有3个解.;③.当a=-1或a>1时,y=a与y=都有2个公共点,就是方程有2个解.例6. 求代数式

7、x+1

8、+

9、x-1

10、+

11、x+2

12、 在-2

13、x+1

14、+

15、x-1

16、+

17、x+2

18、 的图象.由图象可知:当x=-1, y有最小值3;当x=2时,y有最大

19、值8.∴代数式

20、x+1

21、+

22、x-1

23、+

24、x+2

25、 有最大值8和最小值3.6三、练习651. 一元二次方程k2x2+2(k-1)x+1=0有两个实数根的充分必要条件是_______可列方程组:  解得:___________2. 一元二次方程x2+(m+2)x+m+5=0有一正一负的实数根的充分必要条件是______________,所以m的取值范围是________.3. 一元二次方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负实数根的充分必要条件是______,可列方程组:_解得:______.4. 已知一元二次方程(m+3x2-4mx+2m-1=0两个实数根异号且

26、负根的绝对值较大.求m的值.5. 已知

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