试题名称：1998年全国初中数学竞赛试题及答案

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1、1998年全国初中数学竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a、b、c都是实数，并且，那么下列式子中正确的是（　　）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）2、如果方程的两根之差是1，那么p的值为（）（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ）3、在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）184、已知，并且，那么直线一定通过第（）象限（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四5、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a、b）共有（

2、）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=___________。7、已知直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于___________。8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。9、已知方程（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=__________

3、_。10、B船在A船的西偏北450处，两船相距km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是___________km。三、解答题：（每小题20分，共60分）11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。12、设抛物线的图象与x轴只有一个交点，（1）求a的值；（2）求的值。13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元

4、；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。解答　　1．根据不等式性质，选B．．　　2．由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=1．又由(x1-x2)2=(x1＋x2)2-4x1x2，　　　3．如图3

5、－271，连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．　　4．由条件得三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+b＋c＝0．　　当p=2时，y=2x＋2，则直线通过第一、二、三象限．　　y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限．　　综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选B．，　　的可以区间，如图3－272．　　　+1，3×8＋2，3×8＋3，……3×8＋8，共8个，9×8=72(个)．故选C．　　6．如图3－273，过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PE＋PF=AG．因

6、为AD=12，AB=5，所以BD=13，所　　　7．如图3-274，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)．作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，所以　　　8．如图3－275，当圆环为3个时，链长为　　当圆环为50个时，链长为　　9．因为a≠0，解得故a可取1，3或5．　　10．如图3－276，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，A1C=

7、10-x

8、，B1C=

9、10-2x

10、，所以　　　　　　11．解法1如图3－277，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为∠ABE＋∠AEB=90°，∠CED＋∠AEB=9

11、0°，所以　　　　　∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以所以　　　　　　解法2如图3－278，作FH⊥CE于H，设FH=h．因为∠ABE＋∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB=90°，所以　　　　∠ABE=∠FEH，　　于是Rt△EHF∽Rt△BAE．因为所以　　　　　　　　　　　12．(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程有两个相等的实根，于是　　　　(2)由(1)知，a2=a＋1，反复利用此式可得　　　　a4=(a＋1)2=a2＋2a+

12、1=3a+2，　　　　a