全国初中数学竞赛辅导（初1）第06讲一次不等式

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1、第六讲一次不等式(不等式组)的解法　　不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．　　下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．　　1．不等式的基本性质　　　　　　　这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小

2、于零时，不等号方向要改变(性质(6))．　　2．区间概念　　在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么　　(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．　　(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．　　(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．　　　　3．一次不等式的一般解法　　一元一次不等式像方程一样，经

3、过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．　　一元一次不等式ax＞b．　　　　(3)当a=0时，用区间表示为(-∞，+∞)．　　例1解不等式　　解两边同时乘以6得12(x+1)+2(x-2)≥21x-6，化简得-7x≥-14，　　两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．　　例2求不等式　　的正整数解．　　正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．　　例3解不等式　　分析与解因y2+1＞0，所以根据不等式的基

4、本性质有　　　　　例4解不等式　　为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．　　解将原不等式变形为　　解之得　　所以原不等式的解为x＞5且x≠6．　　例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较　　解首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得y＜-10+9，即y＜-1．　　　　例6解关于x的不等式：　　解显然a≠0，将原不等式变形为3x+3-2a2＞a-2ax，　　即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．　　　　　说明对含有字母系数的不等

5、式的解，也要分情况讨论．　　例7已知a，b为实数，若不等式(2a-b)x+3a-4b＜0　　解由(2a-b)x+3a-4b＜0得(2a-b)x＜4b-3a．　　　　　由②可求得　　将③代入①得　　所以b＜0．于是不等式(a-4b)x+2a-3b＞0可变形为　　　　因为b＜0，所以　　　　　　　　　下面举例说明不等式组的解法．　　不等式组的解是不等式组中所有不等式解的公共部分．　　若不等式组由两个不等式组成，分别解出每一个不等式，其解总可以归纳成以下四种情况之一(不妨设α＜β)：　　解分别为：x＞β；x＜α；α＜x＜

6、β；无解．如图1－5(a)，(b)，(c)，(d)所示．　　若不等式组由两个以上不等式组成，其解可由下面两种方法求得：　　(1)转化为求两两不等式解的公共部分．如求解　　　　　(2)不等式组的解一般是个区间，求解的关键是确定区间的上界与下界，如求解　　确定上界：由x＜4，x＜8，x＜5，x＜2，从4，8，5，2这四个数中选最小的数作为上界，即x＜2．　　确定下界：由x＞-4，x＞-6，x＞0，x＞-3．从-4，-6，0，-3中选最大的数作为下界，即x＞0．　　确定好上、下界后，则原不等式组的解为：0＜x＜2．不等式

7、组中不等式的个数越多，(2)越有优越性．　　例8解不等式组　　解原不等式组可化为　　解之得　　　　　例9解关于x的不等式组　　解解①得4mx＜11，③　　　解②得　　　　　　　　　　　　　3mx＞8．④　　(1)当m=0时，③，④变为原不等式组无解．　　(2)当m＞0时，③，④变形为　　　　　　　　　　(3)当m＜0时，由③，④得　　 练习六　　1．解下列不等式或不等式组：　　　　　　　2．解下列关于x的不等式或不等式组：　　　　　　　　　3．求同时满足不等式的整数解．　　关于x的不等式ax＞b的解是什么？