全国初中数学竞赛辅导(初2)第06讲代数式的求值

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1、第六讲代数式的求值  代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切.许多代数式是先化简再求值,特别是有附加条件的代数式求值问题,往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等,经过恒等变形,把代数式中隐含的条件显现出来,化简,进而求值.因此,求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法.下面结合例题逐一介绍.  1.利用因式分解方法求值  因式分解是重要的一种代数恒等变形,在代数式化简求值中,经常被采用.    分析x的值是通过一个一元二次方程给出的,若解出x后,再求值,将会很麻烦.我们可以先将所求的代数式变

2、形,看一看能否利用已知条件.  解已知条件可变形为3x2+3x-1=0,所以  6x4+15x3+10x2  =(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1  =(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1  =0+1=1.  说明在求代数式的值时,若已知的是一个或几个代数式的值,这时要尽可能避免解方程(或方程组),而要将所要求值的代数式适当变形,再将已知的代数式的值整体代入,会使问题得到简捷的解答.  例2已知a,b,c为实数,且满足下式:  a2+b2+c2=1,①    求a+b+c的值.  解将②式因式分解变形如下

3、    即      所以  a+b+c=0或bc+ac+ab=0.  若bc+ac+ab=0,则  (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)      =a2+b2+c2=1,  所以a+b+c=±1.所以a+b+c的值为0,1,-1.  说明本题也可以用如下方法对②式变形:    即    前一解法是加一项,再减去一项;这个解法是将3拆成1+1+1,最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式.  2.利用乘法公式求值  例3已知x+y=m,x3+y3=n,m≠0,求x2+y2的值.  解因为x+y=m,所以  m3=(x+y)3=x

4、3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy,    所以     求x2+6xy+y2的值.  分析将x,y的值直接代入计算较繁,观察发现,已知中x,y的值正好是一对共轭无理数,所以很容易计算出x+y与xy的值,由此得到以下解法.  解x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy       =(x+y)2+4xy         3.设参数法与换元法求值  如果代数式字母较多,式子较繁,为了使求值简便,有时可增设一些参数(也叫辅助未知数),以便沟通数量关系,这叫作设参数法.有时也可把代数式中某一部分式子,用另外的一个字母来替换,这叫换元法.    分析

5、本题的已知条件是以连比形式出现,可引入参数k,用它表示连比的比值,以便把它们分割成几个等式.    x=(a-b)k,y=(b-c)k,z=(c-a)k.  所以  x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.         u+v+w=1,①    由②有    把①两边平方得  u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1,  所以u2+v2+w2=1,  即              两边平方有    所以    4.利用非负数的性质求值  若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零,这个性质在代数式求值中经常被使用.  例8若x2-4

6、x+

7、3x-y

8、=-4,求yx的值.  分析与解x,y的值均未知,而题目却只给了一个方程,似乎无法求值,但仔细挖掘题中的隐含条件可知,可以利用非负数的性质求解.  因为x2-4x+

9、3x-y

10、=-4,所以  x2-4x+4+

11、3x-y

12、=0,  即(x-2)2+

13、3x-y

14、=0.    所以yx=62=36.  例9未知数x,y满足  (x2+y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0,其中m,n表示非零已知数,求x,y的值.  分析与解两个未知数,一个方程,对方程左边的代数式进行恒等变形,经过配方之后,看是否能化成非负数和为零的形式.  将已知等式变形

15、为  m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0,  (m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0,即(mx-y)2+(my-n)2=0.       5.利用分式、根式的性质求值  分式与根式的化简求值问题,内容相当丰富,因此设有专门讲座介绍,这里只分别举一个例子略做说明.  例10已知xyzt=1,求下面代数式的值:    分析直接通分是笨拙的解法,可以利用条件将某些项的形式变一变.  解根据分式的基本性质,分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子,分式的值不变.利用已知条件,可将前三个分式的分母变为与第四个相同.  同理 

16、       分析计算时应注意观察式子的特点,若先分母有理化,计算

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