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时间:2018-04-06
《全国初中数学竞赛辅导(初1)第05讲方程组的解法》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五讲方程组的解法 二元及多元(二元以上)一次方程组的求解,主要是通过同解变形进行消元,最终转化为一元一次方程来解决.所以,解方程组的基本思想是消元,主要的消元方法有代入消元和加减消元两种,下面结合例题予以介绍. 例1解方程组 解将原方程组改写为 由方程②得x=6+4y,代入①化简得11y-4z=-19.④ 由③得2y+3z=4.⑤ ④×3+⑤×4得33y+8y=-57+16, 所以y=-1. 将y=-1代入⑤,得z=2.将y=-1代入②,得x=2.所以为原方程组的解. 说明本题解法中,由①,②消x时,采用
2、了代入消元法;解④,⑤组成的方程组时,若用代入法消元,无论消y,还是消z,都会出现分数系数,计算较繁,而利用两个方程中z的系数是一正一负,且系数的绝对值较小,采用加减消元法较简单. 解方程组消元时,是使用代入消元,还是使用加减消元,要根据方程的具体特点而定,灵活地采用各种方法与技巧,使解法简捷明快. 例2解方程组 解法1由①,④消x得 由⑥,⑦消元,得 解之得 将y=2代入①得x=1.将z=3代入③得u=4.所以 解法2由原方程组得 所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=
3、33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x, 即x=-15+16x,解之得x=1.将x=1代入⑧得u=4.将u=4代入⑦得z=3.将z=3代入⑥得y=2.所以为原方程组的解. 解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10,⑤ 由⑤-(①+③)得y+u=6,⑥ 由①×2-④得4y-u=4,⑦ ⑥+⑦得y=2.以下略. 说明解法2很好地利用了本题方程组的特点,解法简捷、流畅. 例3解方程组 分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系,可以先得到下面四个二元方程: ①+②得x+u=3,⑥
4、②+③得y+v=5,⑦ ③+④得z+x=7,⑧ ④+⑤得u+y=9.⑨ 又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15.⑩ ⑩-⑥-⑦得z=7,把z=7代入⑧得x=0,把x=0代入⑥得u=3,把u=3代入⑨得y=6,把y=6代入⑦得v=-1.所以为原方程组的解. 例4解方程组 解法1①×2+②得 由③得 代入④得 为原方程组的解. 为原方程组的解. 说明解法1称为整体处理法,即从整体上进行加减消元或代入消为换元法,也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中
5、的“整体元”,从而简化方程组的求解过程. 例5已知 分析与解一般想法是利用方程组求出x,y,z的值之后,代入所求的代数式计算.但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的,因此无法求出x,y,z的确定有限解,但我们可以利用加减消元法将原方程组变形. ①-②消去x得 ①×3+②消去y得 ①×5+②×3消去z得 例6已知关于x,y的方程组分别求出当a为何值时,方程组(1)有唯一一组解;(2)无解;(3)有无穷多组解. 分析与一元一次方程一样,含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论,一般是通
6、过消元,归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论.但必须特别注意,消元时,若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时,这个式子的值不能等于零. 解由①得2y=(1+a)-ax,③ 将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2).④ (1)当(a-2)(a+1)≠0,即a≠2且a≠-1时,方程④有 因而原方程组有唯一一组解. (2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时,即a=-1时,方程④无解,因此原方程组无解. (3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时,即a=2
7、时,方程④有无穷多个解,因此原方程组有无穷多组解. 例7已知关于x,y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0, 当a每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个公共解. 解法1根据题意,可分别令a=1,a=-2代入原方程得到一个方程组 将x=3,y=-1代入原方程得 (a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0. 所以对任何a值都是原方程的解. 说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0,方程无x项,可直接求出y值;取a=-2的道理类似. 解法2可将原方程变形为
8、a(x+y-2)-(x-2y-5)=0. 由于公共解与a无关,故有 例8甲、乙两人解方程组 原方程的解. 分析与解因为甲只看错了方程①中的a,所以甲所得到的解4×(-3)-b×(-1)=-2.③ a×5+5×4=13.④ 解由③,④联立的方程组得 所
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