初中数学竞赛辅导资料（31）勾股定理

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1、初中数学竞赛辅导资料（31）勾股定理甲内容提要1.勾股定理及逆定理：△ABC中　∠C＝Rt∠a2＋b2=c22.勾股定理及逆定理的应用①作已知线段a的，，……倍②计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题③证明线段的平方关系等。3.勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.4.勾股数的推算公式①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn,　m2+n2是一组勾股数。②如果k是大于1的奇数，那么k,,是一组勾股数。③如果k是大于2的偶数，那么k

2、,,是一组勾股数。④如果a,b,c是勾股数，那么na,　nb,　nc　(n是正整数)也是勾股数。5.熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5；　5，12，13；　7，24，25；　8，15，17；　9，40，41。乙例题例1.已知线段a　　a　　　　a　　　2a　　3aa　　　　　　　　　　　　　　　　　　求作线段a　　　　　　　　　　　　a　　　　　　　　分析一：a＝＝2a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二：a＝∴a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。作

3、图（略）例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2求对角线AC的长　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴CE＝2CD＝4，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在Rt△ABE中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　设AB为x,则AE＝2x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　根据勾股定理x2+52=(2x)2,x2=　　　　　　　　　　　　　在Rt△ABC中，AC＝＝＝例3.已知△ABC中，

4、AB＝AC，∠B＝2∠A求证：AB2－BC2＝AB×BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：作∠B的平分线交AC于D，　　　　　　　　　　　　　则∠A＝∠ABD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∠BDC＝2∠A＝∠C∴AD＝BD＝BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　作BM⊥AC于M，则CM＝DM　　　　　　　　　　　　　　　　　AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2）　　　　　　　　　　　　　　　　＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM）　　　　　　　　　　　　　＝AC×AD＝AB×BC例4.如图已知△AB

5、C中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD　求证：AB＝AC　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　则c+n=b+m,c-b=m-n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AD⊥BC，根据勾股定理，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　AD2＝c2-m2=b2-n2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴c2-b2=m2-n2,(c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+

6、b)(c-b)=(m+n)((c-b)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(c+b)(c-b)－(m+n)(c-b)＝0(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0∵c+b>m+n,∴c-b=0即c=b∴AB＝AC例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC求证：AC＞BD证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、FACDE和BCDF都是平行四边形∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　作DH⊥AB于H，根据勾股定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　AH＝，FH＝　　　　　　　　　

7、　　　　　　　　　　　　　　∵AD＞BC，AD＞DF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴AH＞FH，EH＞BH　　　　　　　　　　　　　DE＝，BD＝∴DE＞BD即AC＞BD例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求：的值　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2001年希望杯数学邀请赛，初二）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：