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《初中数学竞赛精品标准教程及练习31:勾股定理.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(31)勾股定理一、内容提要1.勾股定理及逆定理:△ABC中 ∠C=Rt∠a2+b2=c22.勾股定理及逆定理的应用①作已知线段a的,,……倍②计算图形的长度,面积,并用计算方法解几何题③证明线段的平方关系等。3.勾股数的定义:如果三个正整数a,b,c满足等式a2+b2=c2,那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.4.勾股数的推算公式①罗士琳法则(罗士琳是我国清代的数学家1789――1853)任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2,2mn, m2+n2是一组
2、勾股数。②如果k是大于1的奇数,那么k,,是一组勾股数。③如果k是大于2的偶数,那么k,,是一组勾股数。④如果a,b,c是勾股数,那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。5.熟悉勾股数可提高计算速度,顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有:3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 9,40,41。二、例题例1.已知线段a a a 2a 3aa 求作线段a a 分析一:a==2a
3、 ∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二:a=∴a是以3a为斜边,以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图(略)例2.四边形ABCD中∠DAB=60,∠B=∠D=Rt∠,BC=1,CD=2求对角线AC的长 解:延长BC和AD相交于E,则∠E=30 4∴CE=2CD=4, 在Rt△ABE中
4、 设AB为x,则AE=2x 根据勾股定理x2+52=(2x)2,x2= 在Rt△ABC中,AC===例3.已知△ABC中,AB=AC,∠B=2∠A求证:AB2-BC2=AB×BC 证明:作∠B的平分线交AC于D, 则∠A=∠ABD, ∠BDC=2∠A=∠C∴AD=BD=BC
5、 作BM⊥AC于M,则CM=DM AB2-BC2=(BM2+AM2)-(BM2+CM2) =AM2-CM2=(AM+CM)(AM-CM) =AC×AD=AB×BC例4.如图已知△ABC中,AD⊥BC,AB+CD=AC+BD 求证:AB=AC 证明:设AB,AC,BD,CD分别为b,c,m,n
6、 则c+n=b+m,c-b=m-n ∵AD⊥BC,根据勾股定理,得 AD2=c2-m2=b2-n2 ∴c2-b2=m2-n2,(c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b)=(m+n)((c-b) (c+b)(c-b)-(m
7、+n)(c-b)=0(c-b){(c+b)-(m+n)}=0∵c+b>m+n,∴c-b=0即c=b∴AB=AC例5.已知梯形ABCD中,AB∥CD,AD>BC求证:AC>BD证明:作DE∥AC,DF∥BC,交BA或延长线于点E、FACDE和BCDF都是平行四边形∴DE=AC,DF=BC,AE=CD=BF 作DH⊥AB于H,根据勾股定理 AH=,FH= ∵AD>BC,A
8、D>DF ∴AH>FH,EH>BH DE=,BD=∴DE>BD即AC>BD4例6.已知:正方形ABCD的边长为1,正方形EFGH内接于ABCD,AE=a,AF=b,且SEFGH= 求:的值 解:根据勾股定理