黄冈中学2009年高三上数学（理科）期末试题及答案

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1、湖北黄冈中学2009届高三年级期末考试数学试题（理科）一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数的一个增区间是（）A．B．C．D．2．已知向量，，若与共线，则等于（）A．；B．C．D．3．已知，且，则（）A．B．C．或D．4．设，则有（）A．B．C．D．5．已知，则使得都成立的取值范围是（）A．B．C．D．6．由下列条件解△ABC，其中有两解的是（）A．B．C．D．7．若向量两两的夹角相等，且满足，则（）A．B．或C．D．或8．已知两不共线向量，，则下列说法不正确的是（）A．B．与的夹角等于C．D．与在方向上的投影

2、相等9．已知是定义在上的二次函数，，若的值域是，则的值域是（）A．B．C．D．10．关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．不等式的解集为____________．12．函数图象的相邻的两个对称中心的距离是__________．13．等差数列中，，则此数列的前项的和等于___________．第14题图14．如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是__________．15．若对任意的，不等式总成立，则实数的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明

3、，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知，且．dyr251（1）若为的三内角，当取得最小值时，求；（2）当时，将函数的图象按向量平移后得到函数的图象，求出所有满足条件的向量．17．（本小题满分12分）数列的前项和为且．（1）求数列的通项公式；（2）等差数列的各项均为正数，其前项和为，，又成等比数列，求．18．（本小题满分12分）（1）设是正实数，求证：；（2）若，不等式是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的的值．19．（本小题满分12分）定义的“倒平均数”为，已知数列项的“倒平均数”为（1）记，试比较与的大小；（2）是否存在实数，使得当时，

4、恒成立？若存在,求出最大的实数；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．（1）若，，试解释它们的实际意义；（2）设，，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？21．（本小题满分14分）已知定义在的函数同时满足以下三条

5、：①对任意的，总有；②；③当时，总有成立．（1）函数在区间上是否同时适合①②③？并说明理由；（2）假设存在，使得且，求证：．参考答案1—5BCDAB6—10CDBCB11．12．13．1314．15．dyr25116．（1）由题，或，或，又，故或．（2）当时，，按向量平移后得到函数的图象，故．17．（1）当时，，即有又，是公比为3的等比数列，且，故．（2）由（1），，又，依题成等比数列，有，解得或，因的各项均为正数，，故．18．（1）证明：是正数，由重要不等式知，故（当时等号成立）．（2）若，不等式仍然成立．证明：由（1）知，当时，不等式成立；当时，，而此时不等式仍然成立．19．（1

6、）记数列的前项和为，则依题有，故故数列的通项为．故，易知，．（2）假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，则都成立，20．（1）表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费.（2）设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，若双方均无失败的风险，依题意，当且仅当成立．故，则，得故即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费，乙公司应投入16万元的宣传费用．21．（1）显然，在[0，1]满足①；满足②；对于③，若，

7、则．故适合①②③．（2）由③知，任给时，当时，由于，所以若，则前后矛盾若，则前后矛盾故得证．