年深圳市高三年级摸底调研考试(理科)试卷及答案

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1、2010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）参考答案及评分标准说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题

2、：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案BACDADDC二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．27．10．－8．11．6．12．．13．67．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．．15．．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数（其中为正常数，）的最小正周期为．（1）求的值；（2）在△中，若，且，求．解：（1）∵．………………………

3、……4分而的最小正周期为，为正常数，∴，解之，得．………………………6分（2）由（1）得．若是三角形的内角，则，∴．令，得，∴或，解之，得或．由已知，是△的内角，且，∴，，∴．…………………………10分又由正弦定理，得．…………………………12分说明：本题主要考查三角变换、诱导公式、三角函数的周期性、特殊角的三角函数值、正弦定理等基础知识，以及运算求解能力．17．（本小题满分12分）如图5，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．（1）在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；（2）求平面与平面所成的

4、锐二面角的余弦值．解：（1）线段的中点就是满足条件的点．……1分证明如下：取的中点连结，则，，…………………2分取的中点，连结，∵且，∴△是正三角形，∴．∴四边形为矩形，∴．又∵，………3分∴且，四边形是平行四边形．……………………4分∴，而平面，平面，∴平面．……………………6分（2）（解法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，∵，∴，是平面与平面所成二面角的棱．……8分∵平面平面，，∴平面，又∵平面，∴平面，∴，∴是所求二面角的平面角．………………10分设，则，，∴，∴．………………………12分（解法

5、2）∵，平面平面，∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）．设，由已知，得，，．∴，，………………………8分设平面的法向量为，则且，∴∴解之得取，得平面的一个法向量为.…………………………10分又∵平面的一个法向量为．．………………………12分说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．18．（本小题满分14分）已知是二次函数，是它的导函数，且对任意的，恒成立．（1）求的解析表达式；（2）设，曲线：在点处

6、的切线为，与坐标轴围成的三角形面积为．求的最小值．解：（1）设（其中），则，………………2分．由已知，得，∴，解之，得，，，∴．………………5分（2）由（1）得，，切线的斜率，∴切线的方程为，即．………………7分从而与轴的交点为，与轴的交点为，∴（其中）．………………9分∴．………………11分当时，，是减函数；当时，，是增函数．………………13分∴．………………14分说明：本题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识，以及运算求解能力．19．（本小题满分14分）某投资公司在2010年年初准备将1000万元投

7、资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和．（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；（2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？（参考数据：，）解：（1

8、）若按“项目一”投资，设获利万元，则的分布列为（万元）.　………………………2分若按“项目二”投资，设获利万元，则的分布列为：（万元）.　………………………4分又，　………………………5分，………………………6分所以，，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．　………………………8分（2）假设年后总资产可以翻一番，依题意：，即，………10分两边取对数得：．所以大约