五年级奥数知识讲解 质数与合数

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1、★小学五年级奥数专题讲解之“质数与合数”自然数是同学们最熟悉的数.全体自然数可以按照约数的个数进行分类.　　像2、3、5这样仅有1和它本身两个约数的自然数，称为质数（或素数）.　　像4、6、8这样除了1和它本身以外，还有其它约数的自然数，称为合数.　　1只有一个约数，就是它本身.1既不是质数也不是合数、称为单位1.　　因此，全体自然数分成了三类：数1；全体质数；全体合数.　　任何一个合数都可以分解成若干个质因数乘积的形式，并且分法是唯一的，这个结论被称为算术基本定理.问题124有多少个约数？这些约数的和是多少？分析24＝23×3.　　23的约数：1，2，22，23共4个

2、.　　3的约数：l，3共2个.　　根据乘法原理，24的约数个数为：　　（3＋1）×（1＋1）＝4×2＝8.　　这8个约数为：l、2、4、8、3、6、12、24.它们的和为：　　1＋2＋4＋8＋3＋6＋12＋24　　＝（1＋2＋4＋8）＋3×（1＋2＋4＋8）　　＝（1＋2＋4＋8）×（1＋3）　　＝（1＋2＋22＋23）×（1＋3）　　＝15×4＝60.　　解24＝23×3.　　（3＋1）×（1＋1）＝8.　　（1＋2＋22＋23）×（1＋3）＝15×4＝60.　　答：24有8个约数，这些约数的和是60.问题2有8个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？分析8＝2×4＝

3、2×2×2.因此，约数个数是8的自然数，有三种类型：P71、P1×P32、P1×P2×P3，其中P1、P2、P3是不同的质数.　　解8＝2×4＝2×2×2.　　∵27＝128，3×23＝24，2×3×5＝30.　　∴有8个约数的最小自然数为24.问题3分别判断103、437是质数还是合数.分析对于一个不很大的自然数N（N＞1，N为非完全平方数）.可用下面方法去判断它是质数还是合数：　　先找出一个大于N的最小的完全平方数K2，再写出K以内的所有质数；若这些质数都不能整除N，则N是质数；若这些质数中有一个质数能整除N，则N为合数.（请同学们想想这其中的道理）　　解103＜1

4、12.而11以内的质数2、3、5、7都不能整除103，故103是质数.　　437＜212.而21以内的质数有：　　2、3、5、7、11、13、17、19.　　∵437÷19＝23，∴437是合数.问题4将下面八个数分成两组，使这两组数各自的乘积相等.　　14，33，35，30，75，39，143，169.分析把八个数分成两组后，应使每组数的乘积所含的质因数一样.　　解把已知的八个数分解质因数：　　14＝2×7，33＝3×11.　　35＝5×7，30＝2×3×5.　　75＝3×52，39＝3×13，　　143＝11×13，169＝132.　　∵14×75＝35×30＝2×

5、3×52×7，　　39×143＝33×169＝3×11×132，　　∴分成的两组为：　　｛169，33，35，30｝与｛39，143，75，14｝　　或｛169，33，75，14｝与｛39，143，35，30｝.问题5一个数是5个2、3个3、2个5、1个7　　的连乘积，这个数的两位数的约数中，最大的是几？分析设这个数为N，则N＝25×33×52×7.两位数中的最大数为99，其它数依次为98，97，….那么可以从两位数中最大的数开始找.　　解N＝25×33×52×7.　　99＝32×11，不是N的约数.　　98＝2×72，不是N的约数.　　97是质数，不是N的约数.　　9

6、6＝25×3，是N的约数.　　所以，所求最大的两位数的约数是96.问题6有这样的质数，它分别加上10和14仍　　为质数，你会求这个质数吗？分析从最小的质数开始找，可以很快地找到3是符合条件的质数，还有没有符合条件的别的质数呢？没有.解因为3＋10＝13，3＋14＝17，所以3是符合条件的质数.　　因为2＋10＝12，2＋14＝16，所以2是不符合条件的质数.　　我们将一切大于2的自然数按照被3除的余数分为3n、3n＋1、3n＋2（n≥1的整数）这三类.因为（3n＋1）＋14＝3×（n＋5）不是质数，（3n＋2）＋10＝3×（n＋4）不是质数，而3n仅当n＝1时才是质数.

7、　　所以，3是唯一符合条件的质数.问题7在乘积　　1000×999×998×…×3×2×1①　　中，末尾连续有多少个零？分析不必真的算出这个乘积，而可以从分析末尾的零是怎样产生的入手.因为2×5＝10，所以末尾的零只能由乘积①中的质因数2与5相乘得到.因此，只需计算一下，把乘积①分解成质因数的连乘积以后，有多少个质因数2，有多少个质因数5，其中哪一个的个数少，乘积①的末尾就有多少个连续的零.解先计算①中的质因数5的个数.　　在1，2，…，1000中有200个5的倍数，它们是：5，10，…，1000.在这200个数中，有40个能被25＝52