2003年“truly信利杯”全国初中数学竞赛试题解答

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1、2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，满分30分）1．D由解得代入即得.2．D因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）.3．C如图所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°，而∠BMN+∠FNM=∠D＋180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.(第3题图)(第4题图)4．D显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x。（1）若AB=9，当CD=x时，，；当CD

2、=5时，，；当CD=1时，，.（2）若AB=x，当CD=9时，，；当CD=5时，，；当CD=1时，，.故x可取值的个数为6个.5．B设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，k+（n－1），由题意可知，即.因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n<2k+（n－1），且n与2k+（n－1）的奇偶性不同.将200分解质因数，可知n=5或n=8.当n=5时，k=18；当n=8时，k=9.共有两种不同方案.6．.＝。7．1.因为，所以　，解得　.从而　，.于是　.8．161.根据图中①、②、③

3、的规律，可知图④中三角形的个数为1+4+3×4++=1+4+12+36+108=161（个）.9．.如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE于F.(第9题图)因为∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m，所以CF=DF=m，EF=DFtan60°=（m）.因为，所以（m）.10.－4.由于二次函数的图象过点A（－1，4），点B（2，1），所以解得　因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，所以，，即，由于a是正整数，故，所以≥2.又因为b+c=－3a+2≤－4，且当a=2，b=－3，c=－1时，满足题意，故b+c的最大值

4、为－4.三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P.问EP与PD是否相等？证明你的结论.解：DP=PE.证明如下：因为AB是⊙O的直径，BC是切线，所以AB⊥BC.由Rt△AEP∽Rt△ABC，得(第11题图).①……（6分）又AD∥OC，所以∠DAE=∠COB，于是Rt△AED∽Rt△OBC.故　②　　　……（12分）由①，②得　ED=2EP.所以　DP=PE.……（15分）12．某人租用一辆汽

5、车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元.试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？解：从A城出发到达B城的路线分成如下两类：（1）从A城出发到达B城，经过O城.因为从A城到O城所需最短时间为26小时，从O城到B城所需最短时间为22小时.所以，此类路线所需最短时间为26+22=48（小时）.……（5分）（2）从A城出发到达B城，不经过O城.这时从A城到达B城

6、，必定经过C，D，E城或F，G，H城，所需时间至少为49小时.……（10分）综上，从A城到达B城所需的最短时间为48小时，所走的路线为：A→F→O→E→B.……（12分）所需的费用最少为：80×48×1.2=4608（元）…（14分）答：此人从A城到B城最短路线是A→F→O→E→B，所需的费用最少为4608元……（15分）(第12题图)13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.（1）当点D在斜边AB内部时，求证：.（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.（3）当点D在BA的延长线上时，第

7、（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.解：（1）作DE⊥BC，垂足为E.由勾股定理得所以　.因为DE∥AC，所以　.故　.……（10分）（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。此时有AD=0，CD=AC，BD=AB.所以　，.从而第（1）小题中的等式成立.……（13分）（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式不成立.作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，则而,所以　.……（15分）〖说明〗第（3）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清者不扣分）.14B．已知实数a，b，c满足：a+b

8、+c=2，abc=4.（1）求a，b，c中的最大者的最小值；（2）求的最小值.解：（1）不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，且b+c=2-a，.于是b，c是一元二次方程的两实根，≥0，≥0，≥0.所以a≥4.……（8分）又当a=4，b=c=-1时，满足题意.故a，b，c中最