专题25：绝对值与二次根式资料

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1、竞赛讲座25－绝对值与二次根式1．  绝对值  例1          （1986年扬州初一竞赛题）设T=

2、x-p

3、+

4、x-15

5、+

6、x-p-15

7、，其中0＜p＜15.对于满足p≤x≤15的x的来说，T的最小值是多少？  解由已知条件可得  T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.  ∵当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时T最小；当x=15时，T=30-15=15，故T的最小值是15.  例2         若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.  证  

8、设两数为a、b，则

9、a

10、+

11、b

12、=

13、a

14、

15、b

16、.  ∴

17、b

18、=

19、a

20、

21、b

22、-

23、a

24、=

25、a

26、（

27、b

28、-1）.  ∵ab≠0，∴

29、a

30、＞0，

31、b

32、＞0.  ∴

33、b

34、-1=＞0，∴

35、b

36、＞1.  同理可证

37、a

38、＞1.  ∴a、b都不在-1与1之间.  例3          设a、b是实数，证明  

39、a

40、-

41、b

42、≤

43、a+b

44、≤

45、a

46、+

47、b

48、.  证明  当

49、a

50、-

51、b

52、≤0时，

53、a

54、-

55、b

56、≤

57、a+b

58、成立.  当

59、a

60、-

61、b

62、＞0时，由于  （

63、a

64、-

65、b

66、）2-

67、a+b

68、2  =（a2+b2-2

69、ab

70、）-（a2+b2+2a

71、b）  =-2（

72、ab

73、-ab）≤0，  ∴

74、a

75、-

76、b

77、≤

78、a+b

79、.  同理可证

80、a+b

81、≤

82、a

83、+

84、b

85、.  2．  根式  在根式进行化简、求值和证明的过程中，常采用配方法、乘方法、比较系数法、设参法、公式法等等，现举例如下：  （1）      配方法：将二次根号内的式子配成完全平方式，将三次根号下的式子配成完全立方式.  例4         (1981年宁波初中竞赛题)设的整数部分为x,小数部分为y,试求的值.  解  =4-=2+(2-),  故x=2,y=2-,  ∴x+y+  =4-+2+=6.  例5

86、         化简  解  原式=  =

87、x+3

88、+

89、x-1

90、-

91、x-2

92、.  令x+3=0，x-1=0，x-2=0.得x=-3，x=1，x=2，这些点把数轴划分成四个部分：  当x＜-3时  原式=-（x+3）-（x-1）+（x-2）=-x-4；  当-3≤x＜1时，  原式=（x+3）-（x-1）+（x-2）=x+2；  当1≤x≤2时，  原式=（x+3）+（x-1）+（x-2）=3x；  当x＞2时，  原式=（x+3）+（x-1）-（x-2）=x+4.  说明：将根号下含字母的式子化为带绝对值的式子来讨论，是

93、解这类问题的一般技巧.  例6         化简（a＞＞0）.  解  原式=    =  =  ∵a＞＞0.     ∴a2＞2b2，  ∴原式=  例7         求证：  证明：∵  =    ∴原式=4.  (2)乘方法:由于乘方与开方互为逆运算,顺理成章地可以用乘方的方法去根号  例8         已知求证:  (x+y+z)3=27xyz.  证明:∵  ∴  两边立方  x+y+  即  再边再立方得（x+y+z）3=27xyz.  例9         已知  求证    证明  设则    

94、即    同理可设则    ∴A+B=  =  =  由  A+B=a，  得    ∴  （2）       比较系数法  例10      求满足条件的自然数a、x、y.  解  将等式两边平方得  ∵x、y、a都是自然数.  ∴只能是无理数，否则与等式左边是无理数相矛盾.  ∴x+y=a，xy=6.  由条件可知 x＞y且x、y是自然数.  当x=6时，y=1，得a=7.  当x=3时，y=2，得a=5.  故x=6,y=1,a=7.  或x=3,y=2,a=5.  例11      化简  分析  被开方式展开后得

95、13+2,含有三个不同的根式,且系数都是2,可看成是将平方得来的.  解  设    =,  两边平方得  13+2  =x+y+z+2  比较系数,得  　①②③④   由②有，代入③，得代入④，得y2=52，∴y=5（x、y、z非负），  ∴=1，  ∴原式=1+  （4）设参法  例12      （1986年数理化接力赛题）  设（a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn都是正数）.求证:    =  证明  设  且a1=b1k,a2=b2k,…，an=bnk.  左边=  =  右边=  ·  =  ∴左边=

96、右边  （5）公式法、代数变换及其他  例13      已知x=求x3+12x的值.  解  由公式（a-b）3=a3-b3-3ab（a-b）可得      ·  =8-3  =8-12x.  ∴x3+12x=8.  例14      设  求x4+y4+（x+y）4.  解  由条件知  ∴x+y=