北京课改版数学九上22.3《正多边形的有关计算》word练习题含答案

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1、正多边形的有关计算　　　　【基础知识精讲】一、定理:正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.二、正多边形有关计算　　　　(1)正n边形角的计算公式：①每个内角等于(n为大于或等于3的整数)；②每个外角＝每个中心角＝.　　(2)正n边形的其他有关计算，由于正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素之间的关系，所以，可以把正n边形的计算转化为解直角三角形的问题，这个直角三角形的斜边为外接圆半径R，一条直角边是边心距rn

2、，另一条直角边是边长an的一半(即)；两个锐角分别为中心角的一半(即)和一个内角的一半(即)或(即90°-).　　　　【重点难点解析】　　重点是把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形问题.难点是通过作正n边形的半径和边心距把正多边形的问题转化为解直角三角形的问题.　　例1.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.　　解：设此正多边形的边数为n，则各内角为，外角为，依题意得：-＝100°.　　解得n＝9　　答：这个正多边形的边数为9.　　　　例2.如图7-42，已知：正三角形

3、ABC外接圆的半径为R，求它的边长，边心距、周长和面积.　　　　解：连结OB，过O作OM⊥BC于M　　∴∠BOM＝＝60°，∴∠OBM＝30°　　∴OM＝OB＝R，∴γ3＝　　BM＝＝＝R　　∴a3＝BC＝2BM＝R　　∴P3＝3a3＝3R　　∴S3＝3S△BOC＝3×R·＝R2　　　　例3.一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求它们边长的比.　　　　解：如图7-43，设O，O′分别是正三角形ABC，正六边形EFGHIJ的中心，分别作OD⊥BC于D，作O′K⊥GH于K，连OB，O′G，则在Rt△O

4、DB中，∠BOD＝＝60°，BD＝a3，　　∴r3＝OD＝BD·ctg60°＝a3，　　∴S3＝6S△ODB＝6×BD·OD　　＝6××a3×a3＝a32.　　在Rt△O′KG中，∠GO′K＝＝30°，GK＝a6　　∴r6＝O′K＝GK·ctg30°＝a6　　∴S6＝12S△O′GK＝12××GK×O′K　　＝12××a32×a6＝a62　　∵S3＝S6，　　∴a23＝a26　　∴＝，　　∴＝，即a3∶a2＝　　　　例4.求证：正n边形的面积Sn等于其周长Pn与边心距rn的积的一半.　　　　证明：如

5、图7-44，设⊙O是正n边形ABC…的内切圆，其中AB与⊙O相切于D，连OA，OD，OB，知OD⊥AB且OD＝rn，∴S△OAB＝·AB·OD＝··rn.　　∵正n边形有n个如同△OAB的等腰三角形，　　∴Sn＝nS△OAB＝n···rn＝Pnrn.　　　　【难题巧解点拨】　　例1.已知：如图7-45，⊙O半径为R，求⊙O内接正八边形的边长a8，边心距r8和中心角.　　　　解：连结OA、OB，并作OK⊥AB于点K，　　　　中心角α＝∠AOB＝＝45°　　在Rt△AOK中，∠AKO＝90°，OA＝R，

6、∠AOK＝α＝22.5°　　故AK＝OA×sin∠AOK＝R·sin22.5°，　　∴AK＝0.3827R　　∴a8＝AB＝2AK＝0.7654R　　r8＝OK＝OA·cos∠AOK＝R·cos22.5°＝0.9239R　　〔说明〕(1)正多边形的半径、边心距和边长的一半组成的一个直角三角形，有关正多边形的计算常常归结为解这个直角三角形.　　(2)若正n边形的半径为R，则它的中心角α＝，　　边长an＝2R·sin，边心距ra＝R·cos.　　　　例2.已知如图7-46，等边△ABC的边长为a，求其内

7、切圆的内接正方形DEFG的面积.　　　　解：设BC切⊙O于M，连OM，OB，则OM⊥BC，　　在Rt△OMB中，∠BOM＝＝60°　　BM＝BC＝a　　OM＝BM·ctg∠BOM＝a·ctg60°＝a　　连结OE，作ON⊥EF于N，　　则OE＝OM＝a　　在Rt△ONE中，∠EON＝＝45°，OE＝a　　∴EN＝OE·sin∠EON＝a·＝a　　∴EF＝2EN＝a　　∴S正方形DEFG＝EF2＝(a)2＝　　〔说明〕解这类问题是正确画出图形，构造直角三角形，在本题中，由于正三角形内切圆O的半径既是正

8、三角形的边心距，又是正方形的半径，所以求出⊙O的半径是个突破口.　　　　【课本难题解答】　　例.已知：半径为R的圆内接正n边形的边长为an，求证：同圆内接正2n边形的面积等于nRan，利用这个结果，求半径为R的圆内接正八边形的面积(用代数式表示).　　　　提示：如图7-47，连结OA，OB，OA′AB，则OA′⊥AB，　　∴四边形OAA′B的面积等于　　AB·OA′＝Ran　　∴半径为R的圆内接正2n边形的面积等于nRan　　半径为R的正八边形的面积等于4Ra4＝2R