轴对称性质的应用专题教案（人教版八年级上）

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1、轴对称性质的应用教学目的：(1)加深学生对轴对称性质的理解，使他们学会利用这些性质去解决有关问题．(2)通过对范例的分析、讲解，培养和训练学生解决问题的正确思想方法，达到启迪智慧，提高能力的目的．教学难点：难点是实际问题的应用，关键是理解实际问题应用的理论依据，建立相应的数学模型教学过程：一、复习提问师：轴对称图形的概念的内容是什么？生：把一个图形沿着一某一条直线折过来，如果它能够与另一个图形重合，我们就着说这两个图形是轴对称。师：轴对称图形具有什么性质？生：轴对称图形具有两条性质：　(1)图形上对应点的连线被轴垂直平分；　　(2)在轴对称下，对应线段或对应直线若相交，其

2、交点必在对称轴上．师：上节课，我们作一个图形的轴对称图形，正是依据了这一逆定理．二、讲解新课师：今天，我们要应用上述性质来解决一个实际问题．[例1]如图1，在铁路a的同侧有两个工厂A、B，要在路边建一个货场C，使A、B两厂到货场C的距离的和最小．问点C的位置如何选择？师：同学们若仔细考虑一下，不难发现，例1实质上是一个求最短路线的实际问题，如果用数学语言叙述就是：已知直线a的同侧有A、B两点，现欲在a上作出一点C，使AC＋CB为最小．（请知道的同学举手，统计人数，以后分析一步都要求举次手，以便做比较）　(让学生准备白纸一张，在教师的启发下作出点C．)　师：对同学们来说，这

3、是一个陌生的问题，可能会感到无从下手．现在，我们不妨这样来思考：　　(教师取出在透明纸上事先画好的图2放在幻灯机上．)　师：若A、B是直线a两侧的已知点，现要在a上作出一点C，使AC＋CB为最小，怎么办呢？请同学们在白纸上作出点C．　生：这个问题容易解决，连结AB，设其交直线a于点C，则点C即为所求．　师：对，很好。若将纸片的下半部分沿直线a向上旋转一个角度，此时A、B两点不在同一个平面上了，如图3所示．试在直线a上求一点C，使AC＋CB为最小．譬如大家可设想有一小虫，在纸面上要从A点爬到B点，问它沿怎样路线爬才最近？　　生：将纸片的下半面绕直线a旋转回图2的情况(即将原

4、纸片展平)，在展平后的纸面上连结AB，设其交a于点C，则点C即为所求．　　[将特殊情况推广到一般情况，也是数学中常用的思考问题的方法，让学生从初中起就受到这一训练，对提高他们的能力是大有好处的．]　　师：若将图3中直线a下方的半个纸面继续沿直线a旋转，直至与上半面叠合(教师边讲边演示)，这时A、B即处于直线a的同侧了(图4)．　　　　大家很容易看出图4实际上是图3的另一种特殊情况．显然，其解可用一般方法来求得．即：将含有点A的半个面，沿直线a旋转，使其变为图2的情形，再求解．用数学语言可描述如下：作点A关于直线a的对称点A＇，连结A＇B，设其交直线a于点C，则C点即为所求

5、的点．　　师：请同学们作出点C并具体地写出作法．　师：由轴对称的性质1可以知道，对称轴是对应点连线的垂直平分线，即相互对称的点到轴上任一点的距离相等．因而，当考虑某一点和轴上的点之间的距离时，这个点可以用它的对称点来“代换”．如本例，当用点A来考虑问题感到困难时，便可用点A的轴对称点A＇来“代换”．由于“代换”后，点A＇和点A到轴上任一点的距离都相等，故AC=A＇C，因而原问题中对AC＋CB最小的要求，可变换成对A＇C＋CB最小的要求．由于A＇和B此时已处于a的两侧，因而变换后的新问题成了一个显而易见的问题，这就最终达到了我们解决原问题的目的．　　下面，大家利用轴对称的这

6、条性质来证明我们作出的点C确是符合要求的．　三、小结　　这节课，我们重点讲解了轴对称性质的应用．轴对称的两条性质是利用轴对称解决问题的基础，应深刻理解和掌握．将一个图形变为它的对称图形，我们称为“对称变换”，利用这种“变换”，我们常常可以将原问题变得更加简单和直观．关于这方面的知识，我们在今后的学习中还会碰到．四、作业：1．讨论题：如图，若在本节所讲的例1中，将作法改为：　　(1)作点B关于直线a的对称点B＇；　　(2)连结AB＇交a于点D．　　试问这样作出的点D和原作法中的点C是否重合？为什么？