北师大版必修一数学：2.4.2《二次函数的性质问题》导学案

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1、2.4.2　二次函数的性质问题导学一、二次函数的对称性和单调性活动与探究1已知函数f(x)＝－2x2－4x＋c.(1)求该函数图像的对称轴；(2)若f(－5)＝4，求f(3)的值．迁移与应用若函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(－2)＝f(4)．(1)求f(x)图像的对称轴；(2)比较f(－1)与f(5)的大小．1．二次函数图像的对称轴通常有以下三种求法：(1)利用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝－.(2)若二次函数f(x)对任意x1，x2∈R都有f(x1)＝f(x2)，则对称轴为x＝.

2、(3)若二次函数y＝f(x)对定义域内所有x都有f(a＋x)＝f(a－x)，则对称轴为x＝a(a为常数)．2．利用对称性，结合开口方向，可以比较二次函数函数值的大小．(1)若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小；(2)若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大．二、二次函数在某区间上的最值(值域)活动与探究2已知函数f(x)＝－x2＋kx＋k在区间[2,4]上具有单调性，求实数k的取值范围．迁移与应用已知二次函数f(x)＝x2＋2(m－2)x＋m－m2，若函数在区间[2，＋∞)上为增加的，求m的取值范围．(

3、1)利用二次函数的单调性可以求解函数解析式中参数的范围，这是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于借助二次函数的对称轴，通过集合间的关系建立变量之间的关系，进而求解参数的取值范围．(2)函数在区间(a，b)上单调与函数的单调区间是(a，b)的含义不同，注意区分．前者只能说明(a，b)是相应单调区间的一个子集；而后者说明a，b就是增减区间的分界点，即函数在a，b两侧具有相反的单调性．活动与探究3已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)用

4、a表示出函数f(x)在区间[－5,5]上的最值．迁移与应用1．函数y＝3x2－6x＋1，x∈[0,3]的最大值是__________，最小值是__________．2．设f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1](t∈R)，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式．求二次函数在某区间上的最值问题，要注意：(1)考虑二次函数的对称轴在该区间的两侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；(2)当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小

5、；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大．三、二次函数的实际应用问题活动与探究4某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元，市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；

6、(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？迁移与应用某动物园为迎接大熊猫，要建造两间一面靠墙的大小相同且紧挨着的长方形熊猫居室，若可供建造围墙的材料长30米，那么宽为__________米时，所建造的熊猫居室面积最大，最大面积是__________平方米．解实际应用问题的方法步骤当堂检测1．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称，则(　　)．A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝12．函数y＝x2＋bx＋c在x∈[0，＋∞)上是递增的，则(　　)．A．b≥0B

7、．b≤0C．b＞0D．b＜03．函数f(x)＝－2x2＋4x－1在区间[－1,4]上的最大值与最小值分别是(　　)．A．1，－7B．1，－17C．－7，－17D．－7，－164．某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为y＝－3x2＋90x，要使利润获得最大值，则产量应为(　　)．A．10件B．15件C．20件D．30件5．已知函数y＝f(x)＝3x2＋2x＋1.(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴；(2)求函数的最小值；(3)已知f＝1，不计算函数值，求f(0)；(4)不直接计算函数值，试比较f与f

8、的大小．提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。答案：课前预习导学【预习导引】上　下　－　　　　　　低　－　　高　－　预习交流1　(1)提示：二次函数的单调区间主要取决于其开口方向(与a有关)和对称轴(与－有关)．(2)提示：二次函数在一个闭区间上一定同时存在最大值与最小值，并且最值都是在该闭区间的端点或二次