人教版高中选修2-1数学导学案：3.2.2平面的法向量与平面的向量表示

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1、www.ks5u.com3.2.2平面的法向量与平面的向量表示【学习目标】1．理解直线的方向向量与平面的法向量。2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系。3．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系。【预习案】1、平面的法向量：已知平面，如果_______________与_____________垂直，则向量叫做平面的法向量或者说向量与平面__________.记作_______________.2、正摄影：已知平面和一点，过点作的_________与___________相交于点，则就是点在平面内的正摄影。3、斜线在平面内的摄影

2、：如果一条直线和平面____________，但____________，那么直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做_________，斜线上的一点与斜足之间的线段叫做______________。4、三垂线定理：如果________________与_____________________垂直，则它也和这条斜线垂直。5、三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和_____________________垂直，则它也和_____________________垂直。【预习检测】1．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠

3、BAC＝30°，BC＝1，AA1，M是AA1的中点，则____________(是，不是)平面AB1C1的一个法向量．2．下列命题中正确的是()A．若是平面ABC的一个法向量，则和平面ABC内任意一条直线的方向向量垂直B．若和平面ABC内两条直线的方向向量垂直，则是平面ABC的法向量C．若既是平面a的法向量，又是平面b的法向量，则a∥bD．若a∥b，则它们所有共同的法向量在一条直线上【课中案】求平面法向量的方法（规律方法）例1如图所示，已知点，求平面的一个法向量。变式练习：1.已知平面a经过三点A（1，2，3），B（2，0，-1）C（3，-

4、2，0），试求平面a的一个法向量.2.已知=（2，2，1），=（4，5，3）求平面ABC的单位法向量例2.利用法向量证明平行问题如图所示，在正方体中，求证平面平面。例3.利用法向量证明垂直问题如图所示，在正三棱柱中，，点是的中点，点在上，且。求证平面平面。变式练习：在正三棱锥P—ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE：EC=PF：FB=1：2求证：平面GEF⊥平面PBC.例4.三垂线定理及其逆定理的应用如图所示，已知直三棱柱中，，，是的中点，求证：。【课后案】1．已知，则平面ABC的一个法向

5、量为____________．2．已知空间一点A(1，2，－1)，，空间一点M(x，y，z)满足，则x，y，z之间的关系是____________．3．已知向量(1，－7，8)，(0，14，16)，，∈(0，)，若平面OAB，则＝__________________．4．下列命题中：(1)平面可以用平面内两条平行直线的方向向量表示；(2)平面的法向量不一定在一条直线上；(3)平面的所有法向量都是共线向量；(4)若两个平面垂直，则它们的法向量也垂直．其中正确命题的序号是______________________________．5．如图，在

6、正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CD1B1．6．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB1的中点．(Ⅰ)求证：BD1⊥B1C；(Ⅱ)求证：BD1⊥平面MNP．7.如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点.求证：AC1∥平面CDB1.