北师大版必修一数学：2.3《函数的单调性问题》导学案

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1、2.3　函数的单调性问题导学一、利用定义证明函数在某区间上的单调性活动与探究1证明函数f(x)＝在区间[3,5]上是增加的．迁移与应用证明函数f(x)＝－x2＋4x＋1在区间[2，＋∞)上是减少的．证明函数在某个区间上的单调性的步骤：(1)取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1＜x2；(2)作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、通分、配方、分母(分子)有理化等方法变形；(3)定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；(4)结论：根据差的符号，得出单调性的结论．二、根据图

2、像求函数的单调区间活动与探究2画出函数y＝－x2＋2

3、x

4、＋3的图像，根据图像指出单调区间．迁移与应用1．已知f(x)(x∈[－4,7])的图像如图所示，则f(x)的递增区间是__________；递减区间是__________．2．作出函数f(x)＝

5、x－3

6、的图像，并指出其单调区间．(1)对于初等函数(如y＝kx＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝等)的单调区间的确定，常借助于函数图像去探求函数的单调区间．(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图像，如y＝

7、x

8、＝在此基础上，借助于

9、图像的变化趋势分析相应函数的单调性或单调区间．(3)由图像确定函数的单调区间时需注意两点：①单调区间必须是函数定义域的子集；②图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．三、函数单调性的应用活动与探究3(1)已知函数f(x)＝x2－4ax＋1在[－1，＋∞)上是增加的，则实数a的取值范围是(　　)．A．a≥－B．a＞－C．a≤－D．a＝－(2)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(2a－1)，求a的取值范围．迁移与应用(1)设f(x)是(－∞

10、，＋∞)上的减函数，则(　　)．A．f(1)＞f(2)B．f(－a)＜f(a)C．f(0)＜f(a)D．f(1)＜f(2)(2)若函数f(x)＝(4a－3)x＋2在R上是减函数，则实数a的取值范围是__________．(3)已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．(1)已知二次函数在某一区间上的单调性求参数的取值范围时，要结合函数的图像，分析抛物线的开口方向，根据对称轴与给定区间的位置关系，建立关于参数的不等式，从而求得参数的取值范围．(2)根据函数的单调

11、性比较函数值的大小时，首先应明确函数的单调性及单调区间，然后分析欲比较大小的函数值相对应的自变量的所属区间及其大小关系，最后利用单调性确定函数值的大小．(3)由函数值的大小关系确定变量的取值范围时，关键是根据函数的单调性，将函数值的大小关系转换为相应自变量的大小关系，从而建立不等式求出参数的取值范围，但务必注意函数定义域对参数取值的限制，不可忽视定义域．四、利用函数的单调性求最值活动与探究4(1)求函数f(x)＝－x2＋2x在区间[0，＋∞)上的最大值；(2)求函数f(x)＝在区间[2,6]上的最

12、大值和最小值．迁移与应用(1)函数f(x)＝4－5x在区间[－1,2]上的最小值等于__________．(2)若函数f(x)＝，x∈[3,4]，求f(x)的最值．1．熟记运用函数单调性求最值的步骤(1)判断：先判断函数的单调性．(2)求值：利用单调性代入自变量的值求得最值．2．明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点(1)写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标．(2)求最值忘记求定义域．(3)求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入．当堂检测1．函数f(x)＝－

13、x2的递增区间为(　　)．A．(－∞，0]B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞)D．(－1，＋∞)2．若f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则有(　　)．A．a≥B．a≤C．a＞－D．a＜3．函数f(x)＝x2－4在区间[－2，－1]上的最大值是(　　)．A．0B．－3C．3D．14．若f(x)是R上的增函数，且f(x－1)＞f(2)，则x的取值范围是__________．5．证明函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增加的．提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部

14、分写下来并进行识记。答案：课前预习导学【预习导引】1．定义域内　任意两数　f(x1)＜f(x2)　增加的递增　定义域内　任意两数　f(x1)＞f(x2)　减少的　递减预习交流1　提示：不可以．如图，虽然f(－1)＜f(2)，但f(x)在[－1,2]上既不是增加的，也不是减少的．2．增加　减少　单调区间　单调性　增加的　减少的　单调函数预习交流2　(1)提示：不能用“∪”来连接，而应该用“和”来连接．如函数y＝，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不能说函数在(－∞，0)∪(0，＋