高中数学（北师大版）选修1-2教案：第3章 拓展资料：例析反正法的应用

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1、www.ks5u.com例析反正法的应用我们知道，反证法是先否定结论成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理，公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原结论是正确的.反证法是间接证明的一种基本方法，是解决某些“疑难”问题的有力工具，也是数学上非构造性证明中极为重要的方法，它对于处理存在性命题、否定性命题、唯一性命题和至少、至多性命题具有特殊的优越性。现以例说明。一否定型命题当结论为“否定性”的命题时，应用反证法。也就是说原题的结论出现“不可能……”、“不能表示为……”、“不是……”、“不存在……”、“不等于……”、“不具

2、有某种性质”等否定形式出现时，可考虑使用反证法进行证明。例1：试证不是有理数。分析：要求证的结论是以否定的形式出现的，因此可应用反正法来进行证明。证明：假设是有理数，注意到，可设（、为互质的正整数，且），两边平方，得①，表明，是2的倍数，因为是正整数，故当是奇数时，令（），则，即是奇数，与是2的倍数矛盾。当是偶数，又可设（），代入①式，整理后得②，②式表明，是2的倍数。这样与都是2的倍数，它们至少有公因数2，与所作假定、为互质的正整数相矛盾。因此不是有理数。点评：在应用反证法证题时，必须按“反设——归谬——结论”的步骤进行，反正法的难点在于如何从假设中推出矛

3、盾，从而说明假设不成立。本题从假设中推出的结论是与自身相矛盾二存在性命题当命题的结论是以存在性的形式出现时，宜用反证法。也就是说，解决存在性探索命题的总体策略是先假设结论存在，并以此进行推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，经验证成立即可肯定假设正确。例2、直线与双曲线：的右支交于不同的两点，⑴求实数的范围；⑵是否存在实数使得以线段为直经的圆经过双曲线的右焦点？若存在求出的值；若不存在，说明理由。分析：第（1）提示求参数范围的常规题，第⑵问是一道探讨结论是否存在的开放性命题，为此先假设结论存在并在此假设的条件下进行一系列的推导，或推出矛盾或验证成立

4、。解：⑴略可求得。⑵由消去得，①设两点的坐标为，则时方程①的两解所以，假设存在实数使得以线段为直经的圆经过双曲线的右焦点，则，得，即整理得，将及带入上式，得，解得或（舍去）从而存在实数使得以线段为直经的圆经过双曲线的右焦点。点评：在本题在假设的条件下推导出的结果并没有出现矛盾，而是验证了存在符合题设条件的实数，从判断结论存在，对于探究具有某种性质的存在性问题，一般先由特例探求结果的存在性，然后进行论证。三“至少”、“至多”型命题当命题的结论是以“至多”、“至少”的形式出现时，可考虑应用反证法来解决。例3、设均为实数，且，，求证：中至少有一个大于0。分析：如果

5、直接从条件出发推证，方向不明，思路不清，不移入手，较难，说证结论是以“至少”形式出现，因而可用反证法证明。证明：设中都不大于0，即而，这与矛盾，故中至少有一个大于0点评：当遇到命题的结论是以“至多”“至少”等形式给出时，一般是多用反证法；应注意“至少有一个”“都是”的否定形式分别是“一个也没有”“不都是”，本题是一个自相矛盾的题目类型。四“唯一”性命题，若命题的结论是以“唯一”、“有且只有一个”等形式出现时，可用反证法进行证明。例4、求证：两条相交直线有且只有一个交点。分析：此题是含有“有且只有一个”的命题，可考虑用反证法进行证明。证明：假设结论不成立，则有

6、两种情况：或者没有交点，或者不只一个交点。如果直线没有交点，那么∥，这与已知矛盾；如果直线不只有一个交点，则至少交于点，这样经过两点就有两条直线，这与两点确定以直线矛盾。由（1）和（2）可知，假设错误，所以，两条相交直线有且只有一个交点。点评：此题是证明一个命题的充要条件，用反证法证明了它的否定，从而获得结论正确，也可正面证明，需证明存在性和唯一性。在证明唯一性命题时，应找出除这一个元素外的其它的所有元素，并逐一推导出矛盾，排除掉。五肯定型命题有些命题结论是以“都有”“所有”“都是”等形式出现时，我们在进行证明时，也往往采用反证法。例5、设函数对定义域上任意

7、实数都有，且成立。求证：对定义域内的任意都有。分析：这是一个肯定型命题，可考虑用反正发来进行证明。证明：假设满足体设条件的任意都有部成立，即存在某个有，，，又因为，这与假设矛盾。假设不成立，故对定义域内的任意都有。点评：在反设命题的结论时要注意正确写出结论的否定形式是非常重要的。在本体中对“任意都有”的否定是“存在某个有”六证明不等式对于证明不等式，有时直接进行证明因较抽象、不明朗，一时还难以找出解题思路，其反面常却出现的条件较多、较具体，又较容易寻找解题思路，因此也常考虑用反证法进行证明。例6、已知函数是上的增函数，，试判断命题“若，则”的逆命题是否正确，

8、并证明你的结论。分析：先写出逆命题，然后证明不等式，