高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》（3.1）word学案

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1、www.ks5u.com2．3　双曲线2．3.1　双曲线的标准方程[学习目标]　1.了解双曲线的标准方程.2.会求双曲线的标准方程.3.会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．[知识链接]1．与椭圆类比，能否将双曲线定义中“动点M到两定点F1、F2距离之差的绝对值为定值2a”中，“绝对值”三个字去掉．答：不能．否则所得轨迹仅是双曲线一支．2．如何判断双曲线－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)的焦点位置？答：x2系数是正的焦点在x轴上，否则焦点在y轴上．[预习导引]1．双曲线的定义把平面内到

2、两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距F1F2＝2c，c2＝a2＋b2要点一　求双曲线的标准方程例1　根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P(3，)，Q(－，5)；(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．解　(

3、1)方法一　若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，∴点P(3，)和Q(－，5)在双曲线上，∴解得(舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，将P、Q两点坐标代入可得解之得∴双曲线的标准方程为－＝1.方法二　设双曲线方程为＋＝1(mn<0)．∵P、Q两点在双曲线上，∴解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)方法一　依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．依题设有解得∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.方法二　∵焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝

4、1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.规律方法　求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法．跟踪演练1　(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲

5、线过点(3，－4)和(，5)，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．解　(1)由已知可设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得∴双曲线的方程为－＝1.(2)方法一　设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意易求得c＝2.又双曲线过点(3，2)，∴－＝1.又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线方程为－＝1.方法二　设双曲线方程为－＝1(－4

6、断曲线的形状例2　已知0°≤α≤180°，当α变化时，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲线怎样变化？解　(1)当α＝0°时，方程为x2＝1，它表示两条平行直线x＝±1.(2)当0°<α<90°时，方程为＋＝1.①当0°<α<45°时0<<，它表示焦点在y轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x2＋y2＝.③当45°<α<90°时，>>0，它表示焦点在x轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y2＝1.它表示两条平行直线y＝±1.(4)当90°<α<180°时，方程为－＝1，它表示焦点在y轴上的双

7、曲线．(5)当α＝180°时，方程为x2＝－1，它不表示任何曲线．规律方法　像椭圆的标准方程一样，双曲线的标准方程也有“定型”和“定量”两个方面的功能：①定型：以x2和y2的系数的正负来确定；②定量：以a、b的大小来确定．跟踪演练2　方程ax2＋by2＝b(ab<0)表示的曲线是____________________．答案　焦点在y轴上的双曲线解析　原方程可化为＋y2＝1，∵ab<0，∴<0，知曲线是焦点在y轴上的双曲线．要点三　与双曲线有关的轨迹问题例3　如图，在△ABC中，已知AB＝4，且三内角A

8、，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．解　以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)．由正弦定理，得sinA＝，sinB＝，sinC＝(R为△ABC的外接圆半径)．∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2a＋c＝2b，即b－a＝，从而有CA－CB＝AB＝2