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《高中数学 2.3.4 平面向量共线的坐标表示学案 新人教a版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3.4平面向量共线的坐标表示学习目标：1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．3．掌握三点共线的判断方法．【学法指导】1．应用平面向量共线条件的坐标表示来解决向量的共线问题优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且使问题具有代数化的特点、程序化的特征．具体运用时，要注意向量的共线、平行与几何中的共线、平行的区别．2．平面向量共线的坐标表示定理中的“当且仅当”就是说若x1y2－x2y1＝0，则a，b共线；反过来，若a与b共线，则x1y2－x2y1＝0.一．知识导学1．两向量共线的坐标表示设a＝(
2、x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)当a∥b时，有.(2)当a∥b且x2y2≠0时，有.即两向量的相应坐标成比例．2．若＝λ，则P与P1、P2三点共线．当λ∈时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；当λ∈时，P位于线段P1P2的延长线上；当λ∈时，P位于线段P1P2的反向延长线上.二．探究与发现【探究点一】平面向量共线的坐标表示a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a＝λb.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示？问题1 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x
3、2y1＝0，请你写出证明过程．问题2设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.请你写出证明过程．【探究点二】 共线向量与中点坐标公式问题1 设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，求线段P1P2的中点P的坐标．问题2 设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)．点P是线段P1P2的一个三等分点，求P点的坐标．问题3 已知△ABC的三个顶点坐标依次为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．求△ABC的重心G的坐标．【探究点三】共线向量与线段分点坐标在平面直角坐标系中
4、，我们可以利用共线向量坐标之间的关系求解坐标．如图所示，设P点是直线P1P2上的一点，且＝λ.问题1 定比λ与分点位置的一一对应关系如下表：λλ<－1λ＝－1－1<λ<0λ＝0P点位置在的延长线上不存在在的延长线上与重合P点名称外分点外分点始点λ0<λ<1λ＝1λ>1P点位置在与中点之间P为在中点与之间P点名称内分点问题2 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，试用λ及P1，P2点的坐标表示P(x，y)点的坐标．【典型例题】例1 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？跟踪训练1 已知A(2
5、,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？例2 已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系．跟踪训练2 已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，试求m的值．例3 已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且
6、
7、＝2
8、
9、，求点P的坐标．跟踪训练3 已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，
10、
11、＝2，求点B的坐标．三、巩固训练1．下列各组的两个向量共线的是( )A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6)B．a2＝(1，－2
12、)，b2＝(7,14)C．a3＝(2,3)，b3＝(3,2)D．a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4)2．已知a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是( )A．1B．－1C．4D．－43．若点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)三点共线，则使＝λ成立的实数λ的值为( )A．－2B．0C．1D．24．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，如果A、B、C三点共线，则实数k＝___________.四、课堂小结：1．两个向量共线条件的表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)当b≠0，a＝λb.(2)x1y
13、2－x2y1＝0.(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据
