常微分方程初值问题数值解的实现和分析-—四阶runge-kutta方法及预估-校正算法毕业论文

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1、《数值分析》课程设计常微分方程初值问题数值解的实现和分析—四阶Runge-kutta方法及预估-校正算法常微分方程初值问题数值解的实现和分析—四阶Runge-kutta方法及预估-校正算法摘要求解常微分方程的初值问题，Euler方法，改进的Euler方法及梯形方法精度比较低，所以本文构造高精度单步的四级Runge-kutta方法及高精度的多步预估—校正算法及其Matlab编程来实现对常微分方程初值问题的求解，使在求解常微分方程时，对以前积分方法的收敛速度及精度都有了很高的提高。关键词：Runge-kutta方法，Ad

2、ams方法，预估—校正算法，Matlab目录1.前言12.几个简单的数值积分法12.1Runge-kutta方法12.1.1Runge-kutta方法的应用52.2预估—校正算法72.2.1Adams数值积分方法简介及预估—校正算法72.2.2预估—校正算法的应用123.结果分析15总结16参考文献17英文原文和中文翻译181英文原文182中文翻译191.前言常微分方程的初值问题是微分方程定解问题的一个典型代表，以下面的例子介绍常微分方程初值问题数值解的基本思想和原理。例1.1一重量垂直作用于弹簧所引起的震荡，当运动

3、阻力与速度的平方成正比时，可借助如下二阶常微分方程描述若令和，则上述二阶常微分方程可化成等价的一阶常微分方程组类似于例1.1，对于m阶常微分方程其中。若定义可得如下等价的一阶常微分方程组我们知道多数常微分方程主要靠数值解法。所谓数值解法，就是寻求解在一系列离散节点上的近似值。相邻两个节点之间的间距称为步长[1]。2.几个简单的数值积分法2.1Runge-kutta方法Runge在1985年提出了一种基于Euler折线法的新的数值方法，此后这种新的数值方法又经过其同胞K.Heun和Kutta的努力[2]，发展完善成为后

4、世所称的Runge-kutta方法。Runge重要发现的灵感主要来源于把Euler方法应用于初值问题(2.1.1)和f不显含y时的初值问题(2.1.2)之间的类比。Runge观察到，当把Euler方法应用到(2.1.2)型初值问题时，得到差分方程事实上，这是在计算积分问题(2.1.3)时采用了左矩形法则即用高为，宽为h的矩形代替了(2.1.3)式中的积分值。类似的，当把Euler方法应用到初值问题(2.1.1)时，得到差分方程这是在计算积分问题(2.1.4)时采用了左矩形法则显然(2.1.3)和(2.1.4)式右侧数

5、值积分的精度决定着数值解的精度。此时，Runge发现，这个矩形公式的逼近程度并不高。如果在计算积分问题(2.1.4)时采用中点法则或梯形法则，则数值解的精度会更高。采用中点法则和梯形法则分别代替(2.1.4)式中的积分会得到(2.1.5)(2.1.6)(2.1.5)和(2.1.6)是两个隐式的方程，它们在早期发现Runge-kutta方法过程中扮演了一个重要角色。Runge的出发点是：分别用一个Euler步代替(2.1.5)中未知的和(2.1.6)式右侧未知的值，这样Runge得到如下的中点格式：和梯形格式：这两个方

6、程具有很好的几何解释。它们是有折线构成的，这些折线假定微分方程所确定的斜率在前面的点上已经计算出来了。与他的后继者一样，Runge用Taylor展开和系数对比说明上述两个方法的阶为2.Runge意识到，用中点法和梯形法得出的两个方法的阶数还不够高，所以，他设想，如果使用比中点法和梯形法精度更高的Simpson法则得到的方法阶数会提高，如果用M和T分别表示用中点法和梯形法算得的数值积分。Simpson法则可以写成众所周知的形式S=M+(T-M)/3。Taylor展开表明，如果f依赖于y，则这个表达形式只是2阶的，接着R

7、unge发现，通过重复使用Euler步骤对梯形法则做适当的调整，会使格式=M+(-M)/3成为3阶方法，他还把他的方法及其Taylor展开式拓展到微分方程组[3]。五年后，Heun在其1900年的文章中评论Runge的方法时说，Runge获得的上述方法是归纳性的而且是令人费解的，他主张使用更具一般性的Gauss求积公式其中于是可以把一般的Gauss格式扩充为(2.1.7)把(2.1.7)式的右端进行二元Taylor展开并与的Taylor展开式的对应的系数比较，适当选取参数使方法具有尽可能高的精度。上述算法公式中的系数

8、希望如此确定，使得(2.1.7)的Taylor展开式中所有h幂次不超过p的那些项与中的相应项的系数相等[2]。假定p=4并取s=3，用类似的推导，可建立下述常用的显型四级Runge-kutta方法：截断误差为，当右端函数f不依赖于y时，上述公式可简化为2.1.1Runge-kutta方法的应用用四级Runge-kutta方法求初值问题=y2e-