2014人教a版高中数学必修四 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》导学案

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1、2.4.1《平面向量的数量积的物理背景及其含义》导学案【学习目标】1说出平面向量的数量积及其几何意义；2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；【重点难点】。平面向量的数量积及其几何意义【学法指导】预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；【知识链接】：1.平面向量数量积（内积）的定义：2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别3．“投影”的概念：作图4.向量的数量积的几何意义：5．两个向量的数量积的性质

2、：设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.1°e×=e=2°^Û×=设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.e×=×e=3°当与同向时，×=当与反向时，×=特别的×=

3、

4、2或4°cosq=5°

5、×

6、≤

7、

8、

9、

10、三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容[【学习过程】创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是

11、按照怎样的顺序研究了这种运算的？3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义探究一：数量积的概念SFα1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W=（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：①W（功）是量，②F（力）是量，③S（位移）是量，④α是。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量︱︱·︱︱

12、cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·=︱︱·︱︱cos（2）定义说明：①记法“·”中间的“·”不可以省略，也不可以用“”代替。②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？（4）学生讨论，并完成下表：的范围0°≤<90°=90°0°<≤180°·的符号例1：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·.解：变式：对于两个非零向量、，求使

13、+t

14、最小时的t值，并求此时与+t的夹

15、角.探究二：研究数量积的意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把││cos（││cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，记做：OB1=︱││︱cos2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？3.研究数量积的物理意义请同学们用一句话来概括功的数学本质：探究三：探究数量积的运算性质1、提出问题6：比较︱·︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？2、明晰：数量积的性质设和b都是非零向量，则1、⊥·=02、当与同向时，︱·︱=︱︱︱︱；当与反向时，︱·︱=-︱︱︱︱，特别地，·=︱︱2或︱︱=3、︱·︱≤

16、︱︱×︱︱3.数量积的运算律（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？（2）、明晰：数量积的运算律：已知向量、、和实数λ，则：（1）·=·（2）（λ）·=λ（·)=·（λ）（3）（+）·=·+·例2、（师生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4,与的夹角为60°，求（+2）·（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？解：变式：（1）(+)2=2+2·+2（2）(+)·(-)=2—2【学习反思】【基础达标】1.已知

17、

18、=5，

19、

20、=4，与的夹角θ=120o，求·.2

21、.已知

22、

23、=6，

24、

25、=4，与的夹角为60o求(+2)·(-3).3.已知

26、

27、=3，

28、

29、=4，且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直.4.已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·.5.已知

30、

31、=1，

32、

33、=，(1)若∥，求·；(2)若、的夹角为６０°，求

34、+

35、；(3)若-与垂直，求与的夹角.6.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量=2m+n与=2n-3m的夹角.【拓展提升】1.已知

36、

37、=1，

38、

39、=，且(-)与垂直，则与的夹角是（）A.60°B.30°C.

40、135°D.４５°2.已知

41、

42、=2，

43、

44、=1，与之间的夹角为，那么向量m=-4的模为（）A.2B.2C.6D.123.已知、是非零向量，则

45、

46、=

47、

48、是(+)与(-)垂直的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量、的夹角为，

49、

50、=2，

51、

52、=1，则

53、+

54、·

55、-

56、=.5.已知+=2i-8j，-=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么·=.6.已知⊥、c与、的夹角均为60°，且

57、

58、=1，

59、

60、=2，

61、c

62、=3，则(+