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《高中数学必修四2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、高中数学必修四2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案24平面向量的数量积241平面向量的数量积的物理背景及其含义编审：周彦魏国庆【学习目标】1掌握平面向量的数量积及其几何意义；2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；【自学新知】知识回顾：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；新知梳理：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则叫与的数量积，记
2、作，即有ɨ=，（０≤θ≤π）并规定向量与任何向量的数量积为思考感悟：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个，不是向量，符号由的符号所决定（2）向量的数量积写成•；符号“•”既不能省略，也不能用“×”代替（3）在实数中，若，且，则b=0；但是在数量积中，若᠒，且ɨ=0，不能推出=因sɥ有可能为02．“投影”的概念：作图：定义：
3、
4、sɥ叫做向量在方向上的投影思考感悟：投影不是向量，是一个
5、数量。当ɥ为锐角时投影为值；当ɥ为钝角时投影为值，当ɥ为直角时投影为；当ɥ=0时投影为
6、
7、；当ɥ=180时投影为᠄
8、
9、3．向量的数量积的几何意义：数量积ɨ等于与
10、
11、sɥ的乘积4两个向量的数量积的性质：设，为两个非零向量，(1)៶᠙ɨ=(2)当与同向时，ɨ=，当与反向时，ɨ=特别的：ɨ=
12、
13、2或；
14、ɨ
15、≤
16、
17、
18、
19、；sɥ=平面向量数量积的运算律①交换律：ɨ=ɨ
20、;②数乘结合律：()ɨ=(ɨ)=ɨ()③分配律：(+)ɨ=ɨ+ɨ说明：（1）一般地，(•)≠（•）（2）•＝•＝对点练习1．下列叙述不正确的是（）A向量的数量积满足交换律B向量的数量积满足分配律向量的数量积满足结合律Dɨ是一个实数2．
21、
22、=3，
23、
24、=4，向量+与-的位置关系为（）A平行B垂直夹角为D不平行也不垂直3已知
25、→
26、=，n→=(sθ,sinθ)，→•n→=9，则→,n→的夹角为（）A10&rd;B120&rd;60&rd;D30&r
27、d;4已知，，，则向量在向量方向上的投影是___________，向量在向量方向上的投影是___________。【合作探究】典例精析：例1．证明：变式1．已知
28、
29、=6，
30、
31、=4，与的夹角为60，求：（1）(+2)•(-3)（2）
32、+
33、与
34、-
35、例2．已知
36、
37、=12，
38、
39、=9，，求与的夹角。变式2．已知
40、
41、=3，
42、
43、=4，且与不共线，为何值时，向量+与-互相垂直【堂小结】【当堂达标】1．下列命题中：①若≠，且•=•，则=；②若=，则3＜4;③(•)•=•(•),对任意向量，，都成立；④2
44、•2=(•)2；正确命题的个数为____2．若
45、
46、＝2sin1°，
47、
48、＝4s37°、，夹角为30°，则•为（ ）A． B． ． D．3．若
49、
50、=
51、
52、=
53、－
54、,则与+的夹角为（ ）A．30°B．60°．10°D．120°4．已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么
55、+3
56、=（）A．B．．D．4【时作业】1已知
57、
58、=1，
59、
60、=，且(-)与垂直，则与的夹角是（）A60°B30°13°D４５°2若向量的夹角为，，则向量的模为3．向量、满足（－）•（2+）=－4，且
61、
62、=2，
63、
64、=4，则与夹角的余弦值等于 4
65、、在Rt△AB中，∠＝90°，AB＝，A＝4，求AB→•B→．已知
66、
67、=8，
68、
69、=10，
70、+
71、=16，求与的夹角6*向量互相垂直，向量互相垂直，求与夹角。7*已知
72、
73、=3，
74、
75、=3，与夹角为，求使向量的夹角为锐角时，的取值范围。8．(2012全国卷)已知向量a，b夹角为4°，且
76、a
77、＝1，
78、2a－b
79、＝10，则
80、b
81、＝________【延伸探究】已知平面上三个向量的模都是1，他们互相之间的夹角均是，（1）求证：（）若，求得取值范围。
