2014人教a版数学必修一3.2.1《几类不同增长的函数模型》教案精讲

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1、3．2.1　几类不同增长的函数模型[读教材·填要点]1．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数增长的速度先慢后快先快后慢相对平稳2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．(3)存在一个x0，当x>x0

2、时，有ax>xn>logax.[小问题·大思维]1．对函数y1＝100x，y2＝log100x，y3＝x100，y4＝100x，当x越来越大时，增长速度最快的应该是哪一个函数？提示：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y4＝100x增长速度最快．2．你能举例说明“指数爆炸”增长的含义吗？提示：如1个细胞分裂x次后的数量为y＝2x，此为“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从图象上看出，存在x0，当x>x0时，数量会增加得特别快，足以体现“爆炸”的效果．3．若x∈(0,1)，则2x，x，lgx的大小关系是什么？提示：在同一坐标系内画出函数y＝2x

3、，y＝x和y＝lgx的图象即可得出结论，即2x>x>lgx函数模型的增长差异[例1]　一天，李先生打算将1万元存入银行，当时银行提供两种计息方式：一是单利，即只有本金生息，利息不再产生利息，年利率为4%；二是复利，即第一年所生的利息第二年也开始计息，年利率为3.6%.已知利息税率为20%(即所产生的利息中应扣除作为利息税上交国家的部分)，问李先生应选用哪种计息方式？[自主解答]　若年利率为r，则扣除利息税后，实际利率为0.8r.按单利计息，则第n年的本息为10000(1＋n×0.8×0.04)＝10000(1＋0.032n)(元)；按复利计息，则第n年的本息为10

4、000(1＋3.6%×0.8)n＝10000×1.0288n(元)，列表如下(单位：元)年数12345单利1032010640109601128011600复利1028810584108891120311525年数678910单利1192012240125601288013200复利1185712199125501291213283从上表可以看出，若存款年数不超过8年，应选用单利计息；若存款年数超过8年，则应选用复利计息．————————————————————————————————————————————————————————1．下面给出了红豆生长时间t(月

5、)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　)A．指数函数：y＝2t　　　　B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2解析：由图象可知，该函数模型应为指数函数．答案：A函数模型的应用[例2]　某地西经柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本为Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t50110250种植成本Q150108150(1)根据上表中的数据，从下列函数中选取一个解析式来描述西红柿种植成本Q与上市时间的变化关系：

6、Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt.(2)利用你所选择的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．[自主解答]　(1)由表中数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，故只能选取Q＝at2＋bt＋c.即解得Q＝t2－t＋.(2)Q＝(t－150)2＋－＝(t－150)2＋100，∴当t＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.——————————————————应用题目提供的信息解决实际问题时最重要的是：如何正确选择函数模型，由所给的数据直接发现函数模型一般来说是很困难的．我们可以根据各类函数的不同性

7、质，特别是各类函数在一定范围内的增长差异性，直接选择可能的模型，再将个别数据代入进行筛选，从而确定正确的函数模型．——————————————————————————————————————2．电信局为了满足客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)试问：(1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠．解：由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,

8、168)，