2014人教a版数学必修五 3.6《正弦定理和余弦定理》教学案

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1、湖南省长沙县实验中学高中数学必修五：3.6正弦定理和余弦定理(教学案)导学目标：1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．自主梳理1．三角形的有关性质(1)在△ABC中，A＋B＋C＝________；(2)a＋b____c，a－bb⇔sinA____sinB⇔A____B；(4)三角形面积公式：S△ABC＝ah＝absinC＝acsinB＝_________________；(5)在三角形中有：si

2、n2A＝sin2B⇔A＝B或_______________⇔三角形为等腰或直角三角形；sin(A＋B)＝sinC，sin＝cos.2．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容________________＝2Ra2＝____________，b2＝____________，c2＝____________.变形形式①a＝__________，b＝__________，c＝__________；②sinA＝________，sinB＝________，sinC＝________；③a∶b∶c＝___

3、_______；④＝cosA＝________________；cosB＝________________；cosC＝_______________.解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．①已知三边，求各角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.1．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于(　　)A．2　　B．12　　　C．2　　　D．282．(教材习题改编)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°

4、，则cosB等于(　　)A．－B.C．－D.3．△ABC中，a＝，b＝，B＝，则符合条件的三角形有(　　)A．1个B．2个C．3个D．0个4．在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为________．5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asinB，则角A的大小为________．题型一　利用正弦定理解三角形例1　在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B

5、，则角A的大小为___________．题型二　利用余弦定理求解三角形例2　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.(1)求角B的大小；(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．题型三　正弦定理、余弦定理的综合应用例3　(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝

6、0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．高考中的解三角形问题典例：(14分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cosB的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．考点分析　本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理，考查转

7、化能力和运算求解能力．解题策略　根据三角形内角和定理可直接求得B；利用正弦定理或余弦定理转化到只含角或只含边的式子，然后求解．规范解答解　(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cosB＝.[4分](2)方法一　由已知b2＝ac，及cosB＝，根据正弦定理得sin2B＝sinAsinC，[9分]所以sinAsinC＝1－cos2B＝.[14分]方法二　由已知b2＝ac，及cosB＝，根据余弦定理得cosB＝＝＝，解得a＝c，[9分]所以A＝C＝B＝60°，故sinAsin

8、C＝.[14分]解后反思　(1)在解三角形的有关问题中，对所给的边角关系式一般要先化为只含边之间的关系或只含角之间的关系，再进行判断．(2)在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向.方法与技巧1．应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB·sinC·cosA，可以进行化简或证明．失误与防范