北方数学竞赛专题讲座

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1、北方数学竞赛专题讲座最值问题陕西省西安高新一中党效文在数学中，研究某些变量的最大值或最小值问题，称为最值问题。最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各部分知识点中，各个知识的水平层面上，综合性强，应用极其广泛。解决最值问题的方法综合、技巧性强，涉及的数学方法和数学思想较多，是竞赛中的重点知识和难点内容。最值问题虽然是老问题，但一直活跃，解决问题的方法和技巧也在不断的发展和创新。一、最值问题呈现的方式1、函数的最值；2、数学中其他章节中的最值（如几何体体积的最值，数列的最大值，三角形面积的最值等）

2、；3、恒成立问题或字母的取值范围；4、应用问题的最值；5、几何最值；6、离散变量的最值；二、最值问题处理的方法与技巧1、函数方法；2、不等式方法；3、构造法（构造模型转化）；4、几何图形性质；5、导数方法；6、离散变量最值方法（单独研究）；三、典型例题分析例1已知，若在区间的最大值为g(a)，最小值为h(a)。令F(a)=g(a)-h(a)（1）F(a)的表达式（2）判断F(a)的单调性,并求出F(a)最小值.例2已知(),求f（x）的最小值.例3求实数a的范围，使得对任意实数x与任意的，恒有例4已

3、知x，y在区间且，求+的最大值。例5求=（xR）的最大值。例6设a，b，c为正实数，求的最小值.例7设x，yR且满足，求的最大值，最小值.例8设a，b，c是正实数，且，确定的最大值。例9给定正整数n和正数M，对于满足条件的所有等差数列，试求的最大值。例10设x，y，z为正数，且，求=的最小值。例11实数abc和实数使得有三个实根x1,x2,x3,且满足（1）（2)，求的最大值.例12设正数a,b,c,x,y,z,满足,求函数的最小值.例13已知x,y都是正数且满足.试求的最小值。例14已知矩形内一点

4、到三个顶点的距离分别为(为定值)，试求矩形面积的最大值