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《高等数学复旦三版习题三答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、习题三1.验证：函数在上满足罗尔定理的条件，并求出相应的，使.证：在区间上连续，在上可导，且，即在上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点使.事实上，由得故取，可使.2.下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件？有没有满足定理结论中的？⑴；⑵；⑶解：⑴ 在上不连续，不满足罗尔定理的条件.而，即在（0，1）内不存在，使.罗尔定理的结论不成立.⑵不存在，即在区间内不可导，不满足罗尔定理的条件.而即在（0，2）内不存在，使.罗尔定理的结论不成立.⑶ 因,且在区间上不连续，不满足罗尔定理的条件. 而,取，使.有满足罗尔定理结论
2、的.92故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件.3.函数的导函数有几个零点？各位于哪个区间内？解：因为，则分别在[－2，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，2]上应用罗尔定理，有使得.因此，至少有4个零点，且分别位于内.4.验证：拉格朗日定理对函数在区间[0，1]上的正确性.验证：因为在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，满足拉格朗日定理的条件.由得解得，即存在使得拉格朗日定理的结论成立.5.如果在[a，b]上连续，在（a，b）内可导且证明：.证明：因为在[a,b]上连续，在（a，b）内可导，故在[a，x]上应用拉
3、格朗日定理，则，使得,于是,故有6.设，且,在[a，b]内存在，证明：在（a，b）内至少有一点，使. 证明：在[a，b]内存在，故在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且，故由罗尔定理知，，使得，，使得，又在上连续，在内可导，由罗尔定理知，，使，即在（a，b）内至少有一点，使.7.已知函数在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且，试证：在（a，92b）内至少有一点，使得.证明：令在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且，由罗尔定理知，，使得，即,即8.证明恒等式：证明：令,故，又因,所以,即9.对函数及在上验证柯西定理的正确
4、性.验证：，在上连续，在内可导，且，满足柯西定理的条件.由,得,故满足柯西定理的结论.10.设在上有阶连续导数，在内有阶导数，且试证：在内至少存在一点，使.证明：首先，对在上应用罗尔定理，有，即，使得；其次，对在上应用罗尔定理，有，即， 使得一般地，设在内已找到个点92其中使得，则对在上应用罗尔定理有使得.11.利用洛必达法则求下列极限：⑴ ;⑵ ;⑶ ;⑷ ;⑸ ;⑹ ;⑺ ;⑻ ;⑼ ;⑽ ;⑾ ; ⑿ ;⒀ ;⒁ ;⒂ ;⒃ ;⒄ .解：⑴原式=.⑵原式=.⑶原式=.⑷原式=.⑸原式=.92⑹原式=.⑺原式=.⑻原式=.⑼
5、原式.⑽原式=令∴原式=.⑾令，则 ∴原式=.⑿令，则92∴原式=.⒀原式⒁原式⒂原式⒃令，则 ∴原式=.⒄令，则12.求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（ ）.⑴； ⑵ ；92⑶ ；⑷ 解：⑴ ∵不存在,（因，为有界函数） 又, 故不能使用洛必达法则.⑶∵不存在,而故不能使用洛必达法则.⑷∵利用洛必达法则无法求得其极限.而.故答案选（2）.13.设,求常数,的值.解：要使成立，则,即又得14.设二阶可导，求.解：9215.确定下列函数的单调区间：(1)；解：所给函数在定义域内连续、可导，且可得函数的两个驻点：
6、,在内，分别取+，–，+号，故知函数在内单调增加，在内单调减少.(2)；解:函数有一个间断点在定义域外，在定义域内处处可导，且，则函数有驻点，在部分区间内，；在内>0，故知函数在内单调增加，而在内单调减少.(3)；解:函数定义域为，,故函数在上单调增加.(4)；解:函数定义域为,，则函数有驻点:,在内，，函数单调减少；在内，，函数单调增加.(5)；解:函数定义域为，92函数的驻点为,在上，函数单调增加；在上，函数单调减少.(6)；解:函数定义域为,1)当时，，则；.2)当时，，则.综上所述，函数单调增加区间为，函数单调减少区间为.(
7、7).解:函数定义域为.函数驻点为,在内，,函数单调增加，在上，,函数单调减少，在上，,函数单调增加，在内，,函数单调增加.92故函数的单调区间为:，，.16.证明下列不等式:(1)当时，证明:令则,当时，为严格单调增加的函数，故,即(2)当时，证明:令,则,,则为严格单调减少的函数,故,即为严格单调减少的函数,从而,即17.⑴证明：不等式证明：令在[0，x]上应用拉格朗日定理，则使得 即,因为，则即⑵ 设证明： 证明：令,在[b，a]上应用拉格朗日定理，则使得 因为,则,92即⑶ 设证明： 证明：令在[b，a]
8、上应用拉格朗日定理，则使得 因为，所以,即.⑷ 设证明： 证明：令，,应用拉格朗日定理，有即18.试证:方程只有一个实根.证明:设，则为严格单调减少的函数，因此至多只有一个实根.而，即为的一个实根，故只有一个实根，也就是只有
