高等数学 复旦三版 习题二 答案.pdf

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1、习题二dsds1．解：=gt，故=2g.dtdtt=212．(1)解：f¢¢(x)=fx().=-0xx=20x0f(xf)-(0)f¢(0)=lim=lim(x-1)(x-2)×L×-()xn(2)解：xx®®00x-0n=-(1)!n3．解：曲线上任意一点(xy,)处的切线斜率为kx=2.因此过(3，8)且与曲线相切的直线方ìy-8=-2xx(3)程为：y-8=-2xx(3)，且与曲线的交点可由方程组解得í2îyx=为(2，4)，(4，16)即为切点.故切线方程为：y-4=4(x-2),yx-16=-8(4).f(x-Dx)-f(x)f(x

2、-D-x)fx()00=-00=-¢4．(1)解：Qlimlimfx()0Dxx®00DxxD®-D故A=-fx¢()。0f(x)fx()(2)解：lim=-lim=-fx¢()0x®®x00x--xxxxx00故A=-fx¢()0(3)解：f(x+h)-f(x-h)éùf(x+h)-f(x)f(x--h)fx()000000lim=-limhh®®00hêúëûhhf(x+h)-f(x)f(x--h)fx()0000=+limlimhh®®00hh-=+=f¢(x)f¢¢(x)2fx()000故A=2fx¢().015．(1)解：y¢=2x2

3、552-(2);解：yx¢=-332512+-(3)解：y==xx32651-yx¢=6.636．解：limxf==0(0),故函数在x=0处连续.x®032x-0-又lim=limx3=¥,故函数在x=0处不可导.xx®®00x-07.证明：f(Dx)-f(0)f(-D-xf)(0)f¢(0)==limlimDxx®00DDxxD®f(-D-xf)(0)=-lim=-f¢(0),D®x0-Dx故f¢(0)=0.f(x)-fx(0)sin8．(1)证明：f¢(0)=lim==lim1,+++xx®®00xx-03f(x)-fx(0)f¢(0)=

4、lim==lim0,---xx®®00xx-0因ff¢¢(0)¹(0)，故函数在x=0处不可导.+-0f(xf)-(0)1(2)证明：f¢(0)=lim==lim0,+1++xx®®00x-01e+xf(xf)-(0)1f¢(0)=lim==lim1,-1--xx®®00x-01e+x因ff¢¢(0)¹(0)，故函数在x=0处不可导.+-0f(x)--fx(1)11(3)证明：f¢(1)=lim==lim,+++xx®®11xx--1122f(x)--fx(1)1f¢(1)=lim==lim2,---xx®®11xx--11因ff¢¢(1)¹(

5、1)，故函数在x=1处不可导.+-0269．解：当x<0时，f¢(xx)=cos,当x>0时，fx¢()=1,sin0x-x-0当x=0时，f¢(0)==lim1,f¢(0)==lim1,--++x®0x-0x®0x-0故f¢(0)=1.ìcosxx,<0,综上所述知fx¢()=íî1,x³0.210．解：因limf(x)=limxf==1(1)--xx®®11limf(x)=lim()ax+b=+ab++xx®®11要使fx()在x=1处连续，则有ab+=1,2f(x)--fx(1)1又f¢(1)=lim==lim2,---xx®®11xx-

6、-11ax+b--1axafa¢(1)=lim==lim,+++xx®®11xx--11要使fx()在x=1处可导，则必须ff¢¢(1)=(1)，-+即a=2.故当ab=2,1=-时，fx()在x=1处连续且可导.11.(1)解：因为lim0yy==所以此函数在x=0处连续.x®0x=0,f(x)--fx(0)sin又f¢(0)=lim=lim=-1,---xx®®00xx-0f(x)-fx(0)sinf¢(0)=lim==lim1,+++xx®®00xx-0ff¢¢(0)¹(0)，故此函数在x=0处不可导.-+21(2)解：因为limxysi

7、n==0(0),故函数在x=0处连续.x®0x21xsinf(xf)-(0)x又y¢(0)=lim==lim0,xx®®00xx-0故函数在x=0处可导.(3)解：因为limf(xx)=lim(2-=)1++xx®®11limf(xx)==lim1--xx®®1127limf(x)=limf(xf)==(1)1,故函数在x=1处连续.+-xx®®11f(x)--fx(1)1又f¢(1)=lim==lim1---xx®®11xx--11f(x)-fx(1)21--f¢(1)=lim=lim1=-+++xx®®11xx--11ff¢¢(1)¹(1)

8、，故函数在x=1处不可导.-+12.证明：在双曲线上任取一点M(xy,),00222aaa则y=,yy¢¢=-,=-，22x=0xxx02a则过M点的