集合论 - 东南大学计算机科学与工程学院

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1、第六章集合代数第一节：集合的基本概念第二节：集合的运算与集合恒等式第六章集合代数主要内容集合的基本概念属于、包含幂集、空集文氏图等集合的基本运算并、交、补、差等集合恒等式集合运算的算律、恒等式的证明方法第六章集合代数德国著名数学家康脱（GEORGECANTOR，1845~1918)在总结前人的基础上，创立了（古典、朴素）集合论。集合论为整个经典数学的各分支提供了共同的理论基础。朴素集合论由于在定义集合的方法上缺乏限制，会导致悖论。另一个德国数学家蔡梅罗（ERNSTZERMELO）于1908年建立了集合论的公理系统，由这

2、个公理系统，他推出了所有数学上的重要结果。他的公理使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到统一，在此基础上形成了公理化集合论和抽象集合论。6.1集合的基本概念集合是能作为整体论述的事物的集体。又称为类、族、搜集。组成集合的每个事物叫做这个集合的元素或成员。用符号∈表示某个元素属于某个集合，表示不属于。任意元素，对于某一集合而言，或属于该集合，或者不属于，二者必居其一，不可兼得。这也符合命题演算中，命题要么是真，要么是假的二值逻辑。通常有三种方法表示集合：1)列举法2)描述法用谓词描述出集合元素的公共特征来表示这个集合。例

3、如：A={a

4、a∈R∧0

5、P(a)}表示a属于S当且仅当P(a)为真。3)归纳定义法6.1集合的基本概念有限集合的元素的个数称为该集合的基数或势。记为

6、A

7、。例：A={0,1}

8、A

9、=2；

10、{A}

11、=1。外延公理：两个集合A和B相等，即A=B，当且仅当他们有相同的成员（也就是，A的每一元素是B的一个元素而B的每一个元素也是A的一个元素）。用逻辑符号表达是：A=Bx(x∈A↔x∈B)6.1集合的基本概念讨论集合:集合中元素的次序是无关紧要的集合中的元素的重复出现无足轻重集合的表示不是唯一的。一个

12、集合可以用多种方法表示例如：{a,b,c}={c,b,a}={a,c,b}={a,a,b,c,c}讨论P={{a,b},c}与Q={a,b,c}，P≠Q设A={x

13、x*(x-1)=0}与B={0,1}，有A=B6.1集合的基本概念集合间的包含关系定义：设A和B是集合，如果A的每一个元素是B的一个元素，那么A是B的子集合，记为AB，读做“B包含A”或“A包含于B中”。ABx(x∈A→x∈B)注意：可能AB或BA，也可能两者均不成立，不是两者必居其一。定义：设A和B是集合,如果AB和BA则称A和B相等，记做

14、A=B。定义：如果AB，且A≠B，那么称A是B的真子集，记作AB，读作“B真包含A”AB(AB)∧(A≠B)6.1集合的基本概念本章中讨论的集合和元素都是限于某一论述域的。我们记该论述域为E，又称为全集合。定义：没有任何元素的集合称为空集，记为≠{}前者是空集，是没有元素的集合；后者是以作为元素的集合定理：对任意集合A有：A提示：Ax(x∈→x∈A)推论：空集是唯一的提示：12∧21定理：对任意集合A有AE6.1集合的基本概念例：确定下列命题是否为真（1）（2）∈

15、（3）{}（4）∈{}含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m个（m≤n）元素的子集称为它的m元子集。6.1集合的基本概念例：A={a,b,c},求A的全部子集解：将A的子集从小到大分类：0元子集：只有一个空集。1元子集：有3个{a},{b},{c}。2元子集：有3个{a,b},{a,c},{b,c}。3元子集：有1个A本身。A共有8个子集，分别为,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}。所以一般n个元素的集合有2n个不同的子集合6.1集合的基本概念幂集合定义：由集合A的

16、所有子集（包括空集及A本身）所组成的集合叫做A的幂集，记以,即={B

17、BA}。一个给定集合的幂集是唯一的。例:(a)如果A=,那么={}。（b）如果A={a,b},那么={,{a},{b},{a,b}}。6.1集合的基本概念设A为一个有限集，A的基数为

18、A

19、，则的基数

20、

21、=2

22、A

23、。例：A={},={,{}}6.1集合的基本概念定义：设A和B是集合①A和B的并记为A∪B,是集合A∪B={x

24、x∈A∨x∈B}②A和B的交记为A∩B,是集合A∩B={x

25、x∈A∧x∈B}③A和B的差，或B关于A的相对补，记为A

26、－B,是集合A－B={x

27、x∈A∧xB}命题演算中的各种运算性质，和集合论中的各种运算性质极为相似6.1集合的基本概念6.2集合的运算例：设A={a,b,c}，B={b,c,d}，求A∪B，A∩B，A－B。[解]A∪B={a,b,c}∪{b,c,d}={a,b,c,d}A∩B={a,b,c}∩{b,c,d}={b,c}A－B={