2018版高考数学（理）（北师大版）大一轮复习讲义：第十二章 《概率、随机变量及其分布》12.4

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1、1．离散型随机变量的分布列(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．(3)设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)，或把上式列表：X＝aia1a2…P(X＝ai)p1p2…称为离散型随机变量X的分布列．(4)性质：①pi>0，i＝1,2，…；②p1＋p2＋…＝1.2．超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出

2、的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝(其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(　√　)(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　√　)(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．(　×　)(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名演员，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　√　)(5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　×　)(6

3、)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　√　)1．(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的事件是(　　)A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点D．以上答案都不对答案　C解析　根据抛掷两颗骰子的试验结果可知，C正确．2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)A．0B.C.D.答案　C解析　设X的分布列为X01Pp2p即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝，故选C.3．从标有1～10的10支竹签中任取

4、2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有(　　)A．17个B．18个C．19个D．20个答案　A解析　X可能取得的值有3,4,5，…，19，共17个．4．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为________．答案　X012P0.10.60.3解析　∵X的所有可能取值为0,1,2，∴P(X＝0)＝＝0.1，P(X＝1)＝＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3.∴X的分布列为X012P0.10.60.35.(教材改编)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一

5、个随机变量，则P(X＝4)的值为______．答案　解析　由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P(X＝4)＝＝.题型一　离散型随机变量的分布列的性质例1　(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101P2－3qq2则q等于(　　)A．1B.±C.－D.＋答案　C解析　∵＋2－3q＋q2＝1，∴q2－3q＋＝0，解得q＝±.又由题意知0

6、布列为2X＋113579P0.20.10.10.30.3引申探究1．在本例(2)的条件下，求随机变量η＝

7、X－1

8、的分布列．解　由(2)知m＝0.3，列表X01234

9、X－1

10、10123∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝

11、X－1

12、的分布列为η0123P0.10.30.30.32.若本例(2)中条件不变，求随机变量η＝X2的分布列．解　依题意知η的值为0,1,4,9,16.P(η＝0)＝P(X2＝0)＝P(X＝0)＝0.2，P(η＝1)＝P(X2

13、＝1)＝P(X＝1)＝0.1，p(η＝4)＝P(X2＝4)＝P(X＝2)＝0.1，P(η＝9)＝P(X2＝9)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝16)＝P(X2＝16)＝P(X＝4)＝0.3，η014916P0.20.10.10.30.3思维升华　(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即