2018版高中数学人教版a版必修五学案:§2.2 等差数列(二)

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1、2017-2018学年人教A版高中数学必修5学案[学习目标] 1.能根据等差数列的定义推导出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题.知识点一 等差数列与一次函数1.等差数列的图象等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),当d=0时,an是关于n的常数函数;当d≠0时,an是关于n的一次函数,点(n,an)分布在以d为斜率的直线上,且是这条直线上的一列孤立的点.2.公差d与斜率等差数列{an}的图象是一条直线上的孤立的点,而这条直线的斜率即为公差d,即d=(n≥2,n∈N*).知识点二 推广的等差数列的通项公式已知等差数列{an}中任意两项

2、am,an,则an=am+(n-m)d.(m≤n)思考 已知等差数列{an}中的am和an,如何求d?答案 由{an}的通项公式得an=a1+(n-1)d,am=a1+(m-1)d,两式相减得an-am=(n-m)d,∴d=.知识点三 等差数列的性质1.若{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列,则有数 列结 论{c+an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an+an+k}公差为2d的等差数列(k为常数,k∈N*){pan+qbn}公差为pd+qd′的等差数列(p,q为常数)2.等差数列的项的对称性72017-2018学

3、年人教A版高中数学必修5学案在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….3.下标性质:在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.特别的,若m+n=2p(m,n,p∈N*),则有am+an=2ap.思考 等差数列{an}中,若a5=7,a9=19,则a2+a12=________,a7=________.答案 a2+a12=a5+a9=26 a7=13题型一 等差数列的性质及应用例1 (1)已知等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,求a4+a8.(2)设

4、{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值.解 (1)方法一 根据等差数列的通项公式,得a2+a6+a10=(a1+d)+(a1+5d)+(a1+9d)=3a1+15d.由题意知,3a1+15d=1,即a1+5d=.∴a4+a8=2a1+10d=2(a1+5d)=.方法二 根据等差数列性质a2+a10=a4+a8=2a6.由a2+a6+a10=1,得3a6=1,解得a6=,∴a4+a8=2a6=.(2){an}是公差为正数的等差数列,设公差为d(d>0),∵a1+a3=2a2,∴a1+a2+a3=15=3a2,∴a

5、2=5,又a1a2a3=80,∴a1a3=(5-d)(5+d)=16⇒d=3或d=-3(舍去),∴a12=a2+10d=35,a11+a12+a13=3a12=105.反思与感悟 解决本类问题一般有两种方法:一是运用等差数列{an}的性质:若m+n=p+q=2w,则am+an=ap+aq=2aw(m,n,p,q,w都是正整数);二是利用通项公式转化为数列的首项与公差基本量的关系完成运算,属于通性通法,两种方法都运用了整体代换与方程的思想.跟踪训练1 在等差数列{an}中:72017-2018学年人教A版高中数学必修5学案(1)若a3=5,则a1+2a4=________;(2)

6、若a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则a1+a20等于________.答案 (1)15 (2)18解析 (1)a1+2a4=a1+(a3+a5)=(a1+a5)+a3=2a3+a3=3a3=15.(2)由已知可得(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=-24+78⇒(a1+a20)+(a2+a19)+(a3+a18)=54⇒a1+a20=18.题型二 等差数列项的设法及求解例2 已知四个数构成等差数列且是递增数列,四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.解 设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则又因为是递

7、增数列,所以d>0,所以解得a=±,d=,此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1.反思与感悟 三个数或四个数成等差数列的设法.当三个数或四个数成等差数列且和为定值时,可设出首项a1和公差d列方程组求解,此时计算量稍大,也可采用对称的设法,三个数时,设a-d,a,a+d;四个数时,设a-3d,a-d,a+d,a+3d,利用和为定值,先求出其中某个未知量.跟踪训练2 已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.解 方法一 设这三个数为a,b,c,

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