2018版高中数学人教版a版必修五学案：§2.2　等差数列（一）

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1、2017-2018学年人教A版高中数学必修5学案[学习目标]　1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．知识点一　等差数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．思考1　等差数列{an}的概念可用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*)．思考2　等差数列{an}的单调性与公差d的符号的关系．等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列

2、；若公差d<0，则数列{an}为递减数列；若公差d＝0，则数列{an}为常数列．知识点二　等差中项的概念若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A＝.知识点三　等差数列的通项公式若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋(n－1)d．思考　教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？答案　还可以用累加法，过程如下：∵a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，……an－an－1＝d(n≥2)，将上述(n－1)个式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，当n＝1时，a

3、1＝a1＋(1－1)d，符合上式，72017-2018学年人教A版高中数学必修5学案∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．题型一　等差数列的概念例1　(1)下列数列中，递增的等差数列有(　　)①1，3，5，7，9；②2，0，－2，0，－6，0，…；③，，，，…；④0，0，0，0，…；⑤－1，，＋1.A．1个B．2个C．3个D．4个(2)已知a＝，b＝，则a与b的等差中项为(　　)A.B.C.D.答案　(1)C　(2)A解析　(1)等差数列有①③④⑤，其中递增的为①③⑤，共3个，④为常数列．(2)a与b的等差中项为＝(＋)＝[(－)＋(＋)]＝.反思与感悟　(1)判断一个数

4、列是不是等差数列，只需看an＋1－an(n≥1)是不是一个与n无关的常数．(2)判断一个等差数列是不是递增数列，只需看数列{an}的公差d是否大于0.(3)求两个数的等差中项，只需求这两个数的和的一半即可．跟踪训练1　(1)在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则数列{an}是(　　)A．公差为1的等差数列B．公差为的等差数列C．公差为2的等差数列D．不是等差数列(2)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________．答案　(1)B　(2)6解析　(1)∵an＋1＝an＋，∴an＋1－an＝(n∈N*)，7

5、2017-2018学年人教A版高中数学必修5学案∴数列{an}是以为公差的等差数列．(2)由题意得∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴＝6，即m，n的等差中项为6.题型二　等差数列的通项公式及应用例2　(1)若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是否为该数列的项．解　(1)设{an}的公差为d.由题意知解得所以a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.(2)依题意得∴解得或∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0.故取a1＝11，d＝－5.∴an＝

6、11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.∴－34是数列{an}的第10项．反思与感悟　在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．跟踪训练2　已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式：(1)a3＝5，a7＝13；(2)前三项为a，2a－1，3－a.解　(1)设首项为a1，公差为d，则解得∴an＝a1＋(n－

7、1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.72017-2018学年人教A版高中数学必修5学案(2)由等差中项公式得2×(2a－1)＝a＋(3－a)，a＝，∴首项为a＝，公差为2a－1－a＝a－1＝－1＝，∴an＝＋(n－1)×＝＋1.题型三　等差数列的判定与证明例3　已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N*时，有＝，设bn＝，n∈N*.(1)求证：数列{bn}为等差数列；(2)试问a1a2是不是数列{an}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．(1)证明　方法一　∵＝，∴an－1(1－2an)＝an(