2017-2018学年高中数学人教b版选修2-3教学案2.4 正态分布含解析

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1、_2.4正态分布1．正态曲线正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝，x∈R，其中参数μ为正态分布变量的数学期望，μ∈(－∞，＋∞)；σ为正态分布变量的标准差，σ∈(0，＋∞)．正态变量的概率密度函数(即f(x))的图象叫做正态曲线．期望为μ，标准差为σ的正态分布通常记作N(μ，σ2)，μ＝0，σ＝1的正态分布叫标准正态分布．2．正态曲线的性质(1)曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称；(2)曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；(3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线“矮胖”；σ越

2、小，曲线越“高瘦”．3．正态分布的3σ原则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%；P(μ－3σ＜X＜μ＋2σ)＝99.7%.可知正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．1．正态分布密度函数及正态曲线完全由变量μ和σ确定．参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．2．对于正态曲线的性质，应结合正态曲线的特点去理解、记忆．正态分布的概念及正态曲线的性质[例1]　如图所示是一个正态曲线，试根据该图

3、象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．6[思路点拨]　给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．[精解详析]　从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.由＝，得σ＝.于是概率密度函数的解析式是f(x)＝·，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.[一点通]　利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.(2)正态曲线在x＝

4、μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝，则这个正态总体的均值与标准差分别是(　　)A．10与8　　　　　　　　B．10与2C．8与10D．2与10解析：由正态曲线f(x)＝知，即μ＝10，σ＝2.答案：B2．如图是正态分布N(μ，σ)，N(μ，σ)，N(μ，σ)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)6A．σ1>σ2>σ3B．σ3>σ2>σ1C．σ1>σ3>σ2D．σ2>σ1>σ3解析：由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>

5、σ2>σ3.答案：A正态分布中的概率计算[例2]　在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．[思路点拨]　解答本题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．[精解详析]　由题意得μ＝1，σ＝2，所以P(－1

6、的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，在此过程中注意数形结合思想的运用．3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.解析：若随机变量X～N(μ，σ2)，则其正态密度曲线关于x＝μ对称，故P(X≤μ)＝.答案：4．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(Xc＋1)＝P(X

7、P(5

8、＝174.所以身高在(168,174)和(174,180)范围内的概率相等，均为0.4772，故该市高二男生