像对共面方程式相对方位解算之探讨

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1、像對共面方程式相對方位解算之探討鄭傑文　趙鍵哲1.前言　　延續之前FundamentalMatrix解方位的報告，由於利用F-Matrix可以解算兩張影像相互之間的相對方位關係加上內方位的解算，只不過它是利用一個的旋轉矩陣來代表上述的參數，本篇報告就是在探討如果單純利用相對方位及內方位參數的平差求解，所解出來的參數與F-Matrix解出來的有何不同，並且探討共面方程式解算方位的幾何情形，也分析在各種不同條件下(觀測量誤差、觀測量各數、待求解參數)解出來的參數有何不同。2.方法介紹　　由下面簡單的圖1，可以看到此為一般的共軛像對影像，其

2、中兩透視中心與地面點A形成兩個向量a1及a2，兩透視中心的連線基線也可形成一向量b，由圖中可以看出此三個向量共面，可以演伸出一共面方程式。[MikhailM.,&S.Bethel,2001]圖1_簡易共面方程幾何示意圖傳統共面式：(1)13式中的(XL1,YL1,ZL1)為左片的透視中心座標，(XL2,YL2,ZL2)為右片的透視中心座標，M1為左片的旋轉矩陣，M2為右片的旋轉矩陣，(x0,y0,f)為相機的內方位。改寫共面方程式：1.將b向量改寫成為skew-symmetricmatrix，如式2(2)則2.改寫a向量矩陣如式3(

3、3)3.改寫共面式如下式4(4)　　可以發現改寫完後的共面方程式與上次報告中所推導出的射影幾何FundamentalMatrix是相同的觀測方程式，而F-matrix則可表示成式5[Luong&Faugeras,2004](5)　　如果不考慮內方位參數的話，則所代表的即為求相對方位的EssentialMatrix，其表示的方式如式6，詳細內容參考附錄(6)　　由於相對方位的解算是固定左片的外方位參數跟兩張影像的基線長，因此假設式六中的M1及M2矩陣如式7所示(7)　　因此透過式4可以列出觀測方程式如下式813(8)　　解算的平差模式採

4、用附有參數的條件平差法來求解，如式9所示(9)其中，e為觀測量(x,y)及(x’,y’)的誤差，y為觀測方程式，為待求解的參數(相對方位參數及內方位參數)，A為參數的偏微分係數矩陣，B為觀測量的偏微分係數矩陣，為觀測量方差-協方差矩陣，為先驗單位權方差，Ｐ為觀測量的權矩陣，n為觀測量個數，u為參數個數，c為觀測方程式的個數。參數的解算公式可以經過迭代運算求得，其解法及精度運算式如式10(10)式10中的A及B矩陣內容詳列於附錄中。1.模擬實驗測試及成果分析　　這個章節將各個時期進行的不同測試分別論述，並且展示平差測試的成果，做為分析的

5、依據標準，首先是僅解算相對方位參數(不含相機內方位參數)的部份，也就是同等於式6解EssentialMatrix的部份，之後考慮加入內方位進行解算的情形，由於同時加入三個內方位參數(x0,y0,f)進去解算會有問題，因此對內方位參數分別進行解算測試(固定其中兩個解算另一個)，再來將模擬實驗場的設計方位參數改變(改變幾何)重新解算，並與之前的模擬實驗場作比較，最後將參數的相關係數矩陣詳列出來，並且探討其法方程矩陣的eigenvalue值，探討一些解算時產生的問題的原因，實驗的成果如下1.1僅解算相對方位參數(不含相機內方位參數)　　如果

6、僅考慮相對方位參數的解算，在原始的模擬實驗場設計中，固定左片外方位參數、基線長及內方位參數為真值，解算的時候僅對待求解的參數做偏微分，以12組影像點對當做觀測量，在不同的觀測量誤差設定下，執行1000次隨機誤差計算取平均，可以得到如下表1的結果13表1_僅解算相對方位參數(不含相機內方位參數)平差成果Obs.accuracy0.001(mm)0.01(mm)0.1(mm)1(mm)Mean_sigma00.975520.974490.98380.97308YL(500)500500499.84500.22ZL(1200)1200120

7、012001199.4Omega(0.0523599)0.0523590.0523600.0525000.052467Phi(0.0523599)0.0523600.0523580.0523940.055445Kappa(0.0698132)0.0698130.0698160.0697780.070154　　由上表1，可以發現如果僅解算相對方位的話，解算出來的成果是準確可靠的，由於參數之間是高度相關，因此無法單就參數的實驗精度去分析好壞，只不過可以從結果看到當觀測量誤差越小的情況下，參數解出來的成果會越接近真值(表1左邊第一欄括號中的

8、數值)，不過像是觀測量誤差0.1mm及1mm下所解出來的Omega參數卻是1mm解出來的較接近，不過也可以看到1mm所解出來的Phi與Kappa都較差。1.1加入其中一個內方位參數進行解算(固定其他兩個)　　第一個要分析