湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期3月联考数学Word版含解析.docx

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湖南省娄底市涟源市2024年上学期高二3月月考数学试题（考试时间：120分钟满分150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，这组数据的众数是（）A.9B.8C.7D.4【答案】D【解析】【分析】借助众数定义即可得.【详解】由数据可知，其中服务次数为4的个数最多，故众数为4.故选：D.2.已知向量满足，则的值为（）A.4B.3C.2D.0【答案】C【解析】【分析】由题意，根据平面向量数量积的运算律即可求解.【详解】由题意知，.故选：C3.若函数在处取得极值1，则（）A.-4B.-3C.-2D.2【答案】D【解析】【分析】通过对函数求导，得出和的参数值，即可求出的值.【详解】由题意，，中，，在处取得极值1，第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 ∴，解得：，经经验满足题意，∴，故选：D.4.若是函数的极值点，则的极小值为．A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】由题可得，因为，所以，，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A．【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．5.将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，则甲、乙、丙分到同一个地区的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人共有多少种分法，再求出甲、乙、丙分到同一个地区的分法数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 则有3人分到一个地区，分配方法共有种，其中甲、乙、丙分到同一个地区的分配方法有，故所求的概率为，故选：D6.下列命题为真命题的是（）A.大于的角都是钝角B.锐角一定是第一象限角C.第二象限角大于第一象限角D.若，则是第二或第三象限的角【答案】B【解析】【分析】根据象限角的定义即可判断ABC，根据象限角与余弦值的关系即可判断D.【详解】对A，∵，但180°不是钝角，∴A是假命题，故A错误；对B，∵锐角范围是，是第一象限角，B是真命题，故B正确；对C，是第二象限角，是第一象限角，，∴C是假命题，故C错误；对D，当时，，不是第二或第三象限的角，∴D是假命题，故D错误.故选：B.7.已知数列为等差数列，且，则的值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质即可得解.【详解】因为数列为等差数列，又，所以，则，所以.故选：B.第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 8.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（    ）A.2022B.4044C.2023D.4046【答案】D【解析】【分析】先得到，再用倒序相加法即可求解.【详解】因为正数数列是公比不等于1的等比数列，且，所以，又∵函数，∴，令，则，∴，∴.故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】求出集合，根据集合的运算即可判断A，B；结合，可判断C；由，结合判别式，可求得a的范围，即可判断D.【详解】由题意得，故，，A错误，B正确；第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 由于，故，则，C正确；若，则能取到所有的正数，即，则或，即，D正确，故选：BCD10.已知数列的前项和公式为，则下列说法正确的是（　　）A.数列的首项为B.数列的通项公式为C.数列为递减数列D.数列为递增数列【答案】ABC【解析】【分析】利用的关系式，分类讨论与两种情况，求得，从而得解.【详解】对于A，因为，所以当时，，知A正确；对于B，当时，，当时，也满足上式，故数列的通项公式为，故B正确；对于CD，，所以数列为递减数列，故C正确，D错误.故选：ABC.11.下列求导正确的是（）A.B.第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 C.D.【答案】BC【解析】【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则计算即可.【详解】，，，.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化．这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”．假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为______．【答案】##0.25【解析】【分析】根据元素相邻关系进行捆绑并结合排列问题得出结果.【详解】服务员随机上这八道菜有种排法，“沙葱牛肉”，“北京烤鸭”相邻有种排法，所以所求概率．故答案为：.13.曲线在点在时切线斜率为______.【答案】3【解析】【分析】求导，将代入导函数即可求解.【详解】，当时，，故曲线在点在时的切线斜率为3.故答案为：314.若分别是曲线与圆上的点，则的最小值为__________.第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 【答案】【解析】【分析】根据题意转化为求曲线上一点到圆心距离的最小值，找出取得最小值时候满足的条件，结合导数计算法则列式求解答案即可.【详解】设圆圆心为，如下图所示，由题意可知，取得最小值时，取得最小值，当垂直于曲线在点处的切线时，最小，设，则对求导得，所以，即，由于时满足上式，且在单调递增，所以有唯一解，所以，此时，所以故答案为：四、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）设，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）根据数列递推式，采用两式相减的方法，即可求得答案；（2）由（1）的结果可得的表达式，利用分组求和法，即可证明结论.【小问1详解】由题意可知，当时，；当时，由得，，两式作差可得，，也适合该式，故；【小问2详解】证明：由题意知，故，由于，则，故，即.16.已知函数在处取到极小值．（1）求的值；（2）求曲线在点处的切线方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据极小值列出方程组即可得解；（2）求出切点处导数可得切线斜率，据此写出切线方程即可第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 【小问1详解】因为，则，即，当时，，时，，时，，故在处取到极小值，所以满足题意.【小问2详解】由（1）知，，则，故切线方程为：，即.17.在中，设，若，与交于点，（1）用表示；（2）在线段，上分别取，使过点，设，求的最小值.【答案】（1）（2）第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】（1）利用三点共线的结论以及平面向量基本定理可求出结果；（2）利用三点共线的结论得到，再根据基本不等式可求出结果.【小问1详解】因为三点共线，所以可设，因为三点共线，所以可设，根据平面向量基本定理可得，解得，所以.【小问2详解】因为，且三点共线，所以，依题意知，所以，当且仅当，时，取得等号，所以的最小值为.18.如图，在三棱锥中，平面平面，且，．（1）证明：平面；（2）若，点满足，求二面角大小．第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理得证线面垂直后可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明结论成立；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【小问1详解】过作于点，平面平面，且平面平面，平面，故平面．又平面，．又，，平面，平面，所以平面，【小问2详解】由（1）平面，平面,故,以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则,0,，，,1,，，故，,所以,，设平面的法向量，则，令有，故，平面的法向量，则，又二面角所成角为锐角，二面角所成角的余弦值为，角的大小为．第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司 19.已知曲线．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若曲线在处的切线与曲线相切，求的取值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）由导数的几何意义，求出在处的导数值，即直线的斜率，由点斜式方程可得；（2）先求切线方程，再联立直线与曲线方程，最后由解出.【小问1详解】因为，又，，故曲线在处的切线方程：，即.【小问2详解】因为，则曲线在处的切线方程为：，又直线与曲线相切，联立方程消得：，由题意有，即，解得：.第12页/共12页学科网（北京）股份有限公司