安徽省芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学 Word版含解析.docx

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芜湖一中2023级高一年级10月份教学质量诊断测试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】直接由交集的定义求解即可．【详解】因为，，所以，故选：A．2.对于命题p：，则命题p的否定为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据存在量词命题否定为全称量词命题易求.【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知：命题p：的否定为.故选：D3.函数的定义域为（）A.B.C.且D.且【答案】D第14页/共14页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】根据零指数幂的性质、二次根式的性质、分式的性质进行求解即可.【详解】由题意可知：且，故选：D4.方程组的解构成的集合是（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先解出方程组，再由列举法表示出解集.【详解】由，解得，所以方程组的解构成的集合是.故选：D5.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】解绝对值不等式和分式不等式，得到解集，由真包含关系得到答案.【详解】，，等价于，解得，其中为的真子集，故“”是“”的必要不充分条件.第14页/共14页学科网（北京）股份有限公司 故选：B6.已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质判断A、B，根据基本不等式可判断C、D.【详解】因为且，所以或，对A：若，则，若，则，A错误；对B：∵，，∴，B错误；对C：由或，知且，∴，C正确；对D：当时，有，从而当，则且，∴，D错误.故选：C7.已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A可能情况数为（）A.9B.10C.31D.32【答案】C【解析】【分析】由题意转化为求集合的非空子集个数问题.【详解】由题意可知，是集合A到集合B的函数，令，得，令，得，令，得，所以集合是集合的非空子集，并且非空子集的个数为个.故选：C8.若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（）A.6B.C.D.【答案】C第14页/共14页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可.【详解】，因为a，b，c均为正数，所以有，当且仅当时取等号，即时取等号，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．9.若全集，，，则集合等于（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据交并补的混合运算逐个选项判断即可.【详解】对A，，，故，故A错误；对B，，故，故B正确；对C，，故，故C正确；对D，，故，故D正确.故选：BCD10.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合，，若M与N“相交”，则a等于（）A.4B.2C.1D.0【答案】AC【解析】【分析】由集合新定义把中的元素代入解出即可.【详解】由M与N“相交”，可知有一个属于集合M，第14页/共14页学科网（北京）股份有限公司 若，则；若，则，故选：AC.11.已知均为实数，则的可能值为（）A.B.C.1D.2【答案】ABC【解析】【分析】分类讨论当同号时、有一个为0时、异号时的情况，求出的取值范围，结合选项，即可得答案.【详解】由题意得当同号时，有，则，当且仅当时等号成立，当有一个为0时，，当异号时，有，则，结合选项可知，的可能值为，，1，故选：ABC12.已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（）A.B.C.D.当时，的最小值为第14页/共14页学科网（北京）股份有限公司 【答案】BC【解析】【分析】结合一元二次不等式与二次函数的关系及函数的平移得到，从而得到，即可判断A、B、C，由韦达定理得到，利用基本不等式判断D.【详解】因为关于一元二次不等式的解集为（其中），所以二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，又关于一元二次不等式的解集为，即二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，，又二次函数的图象是由向上平移个单位得到的，又开口向下，对称轴为，由于无法确值，以下只能得到与图象的大致情形如下（这里只列出其中一种）：第14页/共14页学科网（北京）股份有限公司 所以，则，所以，，所以，故A错误，B正确；又，，所以，故C正确；因为、为关于的方程的两根，所以，，又，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，显然，所以，故D错误.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，，则的取值范围为_____．【答案】.【解析】【分析】先分别计算和的取值范围，再根据不等式的性质求的取值范围.【详解】因为，，所以，，由不等式运算的性质得：，故答案：.【点睛】本题考查不等式的基本性质的应用，属于简单题.14.设，，若，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据交集的结果直接得到.【详解】因为，且，第14页/共14页学科网（北京）股份有限公司 所以，即的取值范围是.故答案为：15.命题“，使得成立”为假命题，则的取值范围__________.【答案】【解析】【分析】将问题转化为“，使得成立”为真命题，再根据二次函数的图象与性质讨论二次项系数即可得到结果．【详解】命题“，使得成立”为假命题，则其否定“，使得成立”为真命题．①当时，恒成立，即满足题意；②当时，由题意有解得．综合①②得实数的取值范围是．故答案为：16.高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人.【答案】9【解析】【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合，结合Venn图可知，要使区域的人数最多，其他区域人数最少即可，进而可求解.【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合.要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人.第14页/共14页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：9.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知集合.（1）求；（2）若集合，且，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求解一元二次不等式，再求补集；（2）由可分类讨论与时画图分析即可.【小问1详解】∵∴【小问2详解】∵∴①当时，，解得：，②当时，即：，∴或∴∴综述：.18.（1）已知a，，比较与的大小，并说明理由．（2）已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值．第14页/共14页学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1），理由见解析（2）最小值为8，此时【解析】【分析】（1）利用作差法得到，进而即可比较；（2）依题意可得，再利用基本不等式即可求解．【小问1详解】由，又，，则，所以．【小问2详解】由，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，此时．19.已知关于的一元二次不等式的解集为．（1）求和的值；（2）求不等式的解集．【答案】（1），（2）答案见解析【解析】【分析】（1）依题意和是方程的两个根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.【小问1详解】由题意知和是方程的两个根且，第14页/共14页学科网（北京）股份有限公司 由根与系数的关系得，解得；【小问2详解】由、，不等式可化为，即，则该不等式对应方程的实数根为和．当时，，解得，即不等式的解集为，当时，，不等式的解集为空集，当时，，解得，即不等式的解集为，综上：当时，解集为，当时，解集为空集，当时，解集为．20.（1）已知，证明：；（2）若a，b，c为三角形的三边长，则．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用作差法，结合不等式的性质推理即得.（2）由（1）的结论，结合不等式的性质推理即得.【详解】（1），由，得，而，，，则，所以．（2）为的三边长，则有，，，由（1）知：，，，将以上不等式左右两边分别相加得：，第14页/共14页学科网（北京）股份有限公司 所以．21.展销会上，在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场．已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入万元，且（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入－成本）（2）当年产量为多少万时，该企业获得的利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）（2）当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1490万元．【解析】【分析】（1）根据利润＝销售收入－成本结合已知条件求解即可，（2）分和求出的最大值，比较即可得答案.【小问1详解】当时，，当时，，综上，，【小问2详解】当时，，函数的对称轴是，则函数在上递增，第14页/共14页学科网（北京）股份有限公司 所以当时，函数取得最大值；当时，，当且仅当，即时取等号，此时的最大值为，因为所以当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1490万元．22.已知函数．（1）若存在，使得成立，求实数a的取值范围；（2）若对任意的，任意的，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）变形得到存在，使得成立，由根的判别式得到不等式，求出答案；（2）转化为只需对任意的恒成立即可，分和，结合参变分离，基本不等式求出答案.【小问1详解】由得，∵存在，使得成立．∵由于为二次函数，开口向上，故只需，解得或，所以实数a的取值范围为或.【小问2详解】由题意知：对任意的，恒成立，由于恒成立，故，故只需对任意的恒成立即可，第14页/共14页学科网（北京）股份有限公司 即，当时，，上式成立，当时，，又∵（当且仅当时取＝），∴．第14页/共14页学科网（北京）股份有限公司