甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学 Word版含解析.docx

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兰州一中2023-2024-2学期高二3月月考试题数学试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（　　）AB.1C.2D.2.函数的递减区间为（）AB.C.D.3.在展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（）A.第6项B.第5项C.第5、6项D.第6、7项4.设函数的导函数为，若，则=（）A.B.C.D.5.的展开式中，的系数（）A.B.5C.35D.506.若函数在区间上单调递减，则实数取值范围是（）A.B.C.D. 7.已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.8.已知，，，则有（）A.B.C.D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9.下列求导不正确的是（）A.B.C.D.10.函数的导函数的图象如图所示，则（）A.是函数的极值点B.3是函数的极大值点C.在区间上单调递减D.1是函数的极小值点11.已知函数，下列说法正确的是（　　）A.的单调递减区间是B.在点处的切线方程是C.若方程只有一个解，则D.设，若对，使得成立，则第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.利用曲线切线方程可求得的近似值为___________． 13.已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______.14.若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则方盒的体积的最大值为___________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15.设，已知成等差数列．（1）求展开式的中间项；（2）求展开式中所有含的奇次幂项的系数和．16.已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最值．17.已知定义在上的函数．（1）若为单调递增函数，求实数的取值范围；（2）当时，证明：．18.已知函数．（1）当时，如果函数的图象与直线有三个交点，求实数k的取值范围（2）当时，试比较与2的大小．19.已知函数．（1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点．①求实数a的取值范围；②若（为自然对数的底数，且…），求的取值范围． 兰州一中2023-2024-2学期3月月考试题高二数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（　　）A.B.1C.2D.【答案】B【解析】【分析】根据平均变化率和瞬时变化率的概念直接计算.【详解】函数在区间上的平均变化率等于，由，得，所以，因为函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，所以，解得.故选：B2.函数的递减区间为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】利用导数与原函数单调性的关系进行求解即可.【详解】，由，所以函数的递减区间为，故选：C3.在的展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（）A.第6项B.第5项C.第5、6项D.第6、7项【答案】A【解析】【分析】的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，由条件先求出，然后可得答案.【详解】因为的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第4项与第8项的系数相等所以，所以所以展开式里系数最大的项是第6项故选：A【点睛】本题考查的是二项式系数的性质，较简单.4.设函数的导函数为，若，则=（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】对函数求导后，令即可求解.【详解】因为，所以，令，则，解得：.故选：C.5.的展开式中，的系数（）A.B.5C.35D.50 【答案】A【解析】【分析】利用展开式的通项公式即求.【详解】的展开式第项，当时，；当时，，∴，∴的系数为.故选：A.6.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据函数解析式得到函数的定义域，再求出导函数，从而根据条件得到关于的不等式组，进而求解即可．【详解】由，则函数的定义域是，又函数在区间上单调递减，由，得，所以，解得，所以实数的取值范围是．故选：A．7.已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据导数确定函数的单调性，导函数的正负确定单调性进而取最值可求.【详解】由得，由于均为单调递增函数，故在单调递增，因为在有最小值，故故选：A8.已知，，，则有（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】函数，则，确定函数的单调性，通过单调性可确定大小.【详解】把a，b，c变形得，，，所以构造函数，则.，令，则在上恒成立，所以在区间上单调递增，因为，所以在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以，即故选：C.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9.下列求导不正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误.故选：ABD10.函数的导函数的图象如图所示，则（）A.是函数的极值点B.3是函数的极大值点C.在区间上单调递减D.1是函数的极小值点【答案】AC【解析】【分析】根据导函数的图象，得出函数的单调区间，进而即可得出函数的极值情况.【详解】对于A项，由图象可知，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减. 所以，在处取得极大值.故A正确；对于B项，由图象可知，当时，恒成立，且不恒为0，所以在上单调递减.所以，3不是函数的极大值点.故B错误；对于C项，由B可知，在区间上单调递减.故C正确；对于D项，由B可知，在上单调递减.所以，1不是函数的极小值点.故D错误.故选：AC.11.已知函数，下列说法正确的是（　　）A.的单调递减区间是B.在点处的切线方程是C.若方程只有一个解，则D.设，若对，使得成立，则【答案】BD【解析】【分析】对函数求导，分析其单调性得到其图象，可判断ABC，对应选项D，设函数的值域为，的值域为G，由求解判断.【详解】函数，，，令，得或；令，得；可得函数在和上单调递减，在单调递增，其大致图象如图： 对于，由上述分析可得A错误；，由，，得，所以切线为，故B正确；对于C，由方程只有一解，由图象可知，或，故C错误；对于D，设函数的值域为，函数的值域为，对于，，，对于，，，若，，使得成立，则，故D正确，故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.利用曲线的切线方程可求得的近似值为___________．【答案】【解析】【分析】首先求出函数在处的切线方程，再令，即可求出的近似值.【详解】因为，则，所以，则曲线在处的切线方程为，令，则，所以故答案为：13.已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______. 【答案】【解析】【分析】先判断出的单调性，然后求得的解集.【详解】依题意是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，在区间递减，；在区间递增，.所以的解集.故答案为：14.若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则方盒的体积的最大值为___________．【答案】##【解析】【分析】将方盒容积表示为关于的函数的形式，利用导数可求得单调性，从而得到体积最大值.【详解】由题意知：方盒的底面为边长为的正方形，高为，其中，则方盒的容积为，，则当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，. 故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15.设，已知成等差数列．（1）求展开式的中间项；（2）求展开式中所有含的奇次幂项的系数和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）写出展开式的通项，即可表示出，再根据等差中项的性质得到方程求出，最后再利用通项得到展开式的中间项；（2）依题意可得，令、，再结合两式计算可得.【小问1详解】二项式展开式的通项为，其中且，依题意．由，得，即解得或（应舍去），所以展开式的中间项是第项为．【小问2详解】由（1）可得，即． 令，则，令，则，所以，所以展开式中所有含的奇次幂项的系数和为．16.已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最值．【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解；（2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解.【小问1详解】因为，所以，由题意可知，，，，所以，解得，，，所以函数的解析式为，经检验适合题意，所以；【小问2详解】由（1）知， 令，则，解得，或，当时，；当时，；所以在和上单调递增，在上单调递减，当时，取的极大值为，当时，取得极小值为，又，，所以，．17.已知定义在上的函数．（1）若为单调递增函数，求实数的取值范围；（2）当时，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得当时，恒成立，即恒成立，令，，利用导数求出函数的单调性，即可求出参数的取值范围；（2）依题意只需证明：当时，恒成立，令，利用导数说明函数的单调性，即可证明.【小问1详解】因为，又为上的单调递增函数，当时，恒成立，即恒成立， 令，，则，在在上单调递减，，，即实数取值范围为；【小问2详解】依题意只需证明：当时，恒成立，令，则，令，则，当时，为单调递增函数，所以为单调递增函数，，即，，即当时，．18.已知函数．（1）当时，如果函数的图象与直线有三个交点，求实数k的取值范围（2）当时，试比较与2的大小．【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用导数法求函数的最值，根据已知条件及函数的性质画出函数的大致图象即可求解；（2）根据已知条件构造函数，利用导数法求出函数的单调性，结合的零点的特点即可求解.小问1详解】当时，，， ，当时，，单调递增，当时，，单调递减．当时，，单调递增，因此当时，函数有极大值，当时，函数有极小值，当时，，当时，，函数图象如图所示．因为函数与有三个交点，所以实数k的取值范围为.【小问2详解】当时，，设，，，所以当时，函数是单调递增函数，而，因此有当时，，当时，． 当时，．19.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点．①求实数a的取值范围；②若（为自然对数的底数，且…），求的取值范围．【答案】（1）答案见解析.（2）①；②【解析】【分析】（1）利用导数的正负与函数的单调性的关系及对参数讨论即可求解；（2）①利用导数法求函数的极值的步骤及参数的讨论即可求解；②根据已知条件及韦达定理构造函数，，利用导数法求出函数的最值即可求解.【小问1详解】由题知，函数的定义域为，，当时，对任意的，在上恒成立不恒为零，故在上单调递减；当时，令，则，解得，当时，；当时，．所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；【小问2详解】①由题知，，函数的定义域为，，当时，对任意的，且不恒为零，故在上单调递增，没有极值点；当时，，且不恒为零，故在上单调递增，没有极值点；当时，令，解得，，则，当时，；当时，；所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．综上，当时，有两极值点；②由①可知，，，所以， 设，，其中，所以，又因为，可知，所以在上单调递减．∴，即，所以的取值范围为．【点睛】关键点睛：解决此题的关键是第一问是利用导数法求函数的单调性的步骤，注意对参数进行讨论即可，第二问第一小问利用导数法求出函数的极值的步骤，注意对参数的讨论即可，第二小问利用韦达定理及已知条件构造函数，利用导数法求函数的最值即可.