四川省雅安中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题 Word版含解析.docx

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雅安中学2022-2023学年下期高2022级高一（下）月考数学试题（考试时间：120分钟试卷总分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角的终边经过点，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为角的终边经过点，所以.故选：A.2.已知在平行四边形中，若，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由平面向量的线性运算法则求解．【详解】四边形是平行四边形，则，，两式相减除以2得，故选：C．3.下列各式中，值为的是（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式和两角和与差的三角函数公式，结合特殊角三角函数值逐项判断即可.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误，故选:B.4.设函数（），则的奇偶性（）A.与有关，且与有关B.与有关，但与无关C.与无关，且与无关D.与无关，但与有关【答案】D【解析】【分析】可通过特殊值得出函数的奇偶性，从而得正确选项．【详解】当时，，，是奇函数，当时，，，是偶函数，当时，，，不是奇函数，，，因此不是偶函数，即此既不奇函数也不是偶函数．所以奇偶性与有关，与无关，故选：D．5.函数在区间上的图象大致是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由奇偶性排除AC；由的解判断BD.【详解】令，，即函数为偶函数，图象关于轴对称，故AC错误；令，即，解得，即该函数在区间上由5个零点，故B正确，D错误；故选：B6.下列选项中错误的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的单调性可判断A，由正弦函数的对称轴可判断B，根据余弦函数的单调性可判断C，由正弦函数的周期及单调性可判断D.【详解】因为，在上单调递增，所以，故A正确；因为，所以比1距离正弦函数的对称轴近， 所以，故B正确；因为，而，函数在上单调递增，所以，故C正确；因为，而，由正弦函数单调性可知，故D错误.故选：D7.若将函数的图像向右平移个单位长度后所得图像关于轴对称，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由图像平移写出解析式，根据新函数的对称性得，，进而求出范围，结合确定其最小值.【详解】由函数右移，则，由关于轴对称，故，，所以，，又，即，故，所以，当时.故选：B8.的外接圆圆心为，，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设是边中点，由，，，再利用数量积 运算律计算可得．【详解】如图，设是边中点，连接，则，，．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图．其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则以下结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】根据正八边形的性质可知每个中心角为、，结合向量的线性运算即可判断AB；根据垂直向量数量积为0即可判断C；根据直角三角形和向量的线性运算即可判断D.【详解】A：正八边形被分成8个全等的等腰三角形， 所以每个中心角为，由正八边形的性质可知，设，则，所以，故A错误；B：如图，在正方形中，，所以，故B错误；C：由，得，所以，故C正确；D：如图，在中，由，，得，所以，故D正确.故选：CD.10.要得到函数的图象，可以将函数的图象（）得到.A.先将各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位B.先将各点横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位C.先将各点横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位D.先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来的倍【答案】ACD【解析】【分析】根据三角函数图象变换的知识求得正确答案. 【详解】，（1）函数的图象，将各点横坐标变为原来的倍，得到，再向左平移个单位得到，A选项正确，B选项错误;（2）函数的图象，将各点横坐标变为原来的倍，得到，再右平移个单位得到，C选项正确;（3）函数的图象，向左平移个单位，得到，将各点横坐标变为原来的倍得到，D选项正确.故选：ACD11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是偶函数B.的最大值为2C.在区间上有4个零点D.在区间上单调递减【答案】ABD【解析】【分析】分析函数的奇偶性、最值、零点、单调性，对各选项进行逐一判断即可.【详解】定义域为，且， 所以是偶函数，故A正确.，且当时取得等号；，且当时取得等号，所以，当时取得等号，即的最大值为，故B正确；由是偶函数且，可得在区间上的零点个数必为奇数，故C不正确；当时，单调递增，故D正确.故选：ABD.12.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有12个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要．则下列说法正确的是（）A.游客距离地面的高度与时间的函数为B.摩天轮转动一周，游客距离地面的高度不低于的时间为C.经过，游客距离地面D.甲乙两人分别坐在两个相邻的座舱，在运行一周的过程中，两人距离地面的高度差的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设出游客距离地面的高度与时间的函数关系式，根据题意可求得参数，可得，结合余弦函数性质可判断A，B，C；表示出两人距离地面的高度差的表达式，结合两角和的余弦公式以及辅助角公式，求得两人距离地面的高度差的最大值，判断D.【详解】以摩天轮轴心O为原点，水平线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图： 由题意可知O离地面，设游客距离地面的高度与时间的函数为，设时，游客位于点处，此时可取，根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动速度约为，故，A正确；摩天轮转动一周，游客距离地面的高度不低于，即令，由于，则，即游客距离地面的高度不低于的时间为，B正确；当时，（m），C错误；如图，甲，乙两人的位置分别用点表示，则，经过后，甲距离地面的高度为，点B相对A始终落后，此时乙距离地面的高度为，则甲、乙高度差,结合辅助角公式可知h最大值为（m），D正确，故选：ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为_________.【答案】【解析】【分析】根据正切函数的定义域求解即可.【详解】解得:故函数的定义域为【点睛】本题考查了正切函数的定义域，属于基础题.14.已知，，，则向量在向量上的投影向量为__________．【答案】【解析】【分析】求出和即得解.【详解】∵，又，∴，又，所以向量在向量方向上的投影向量为.故答案为：15.已知，则的值是__________．【答案】##－0.6【解析】分析】由二倍角公式求得，然后由诱导公式求解． 【详解】，．故答案为：．16.已知函数，则在区间内的所有零点之和为__________．【答案】8【解析】【分析】利用诱导公式变形，将的零点转化为方程的根的问题，分类讨论再结合函数的对称性计算即可.【详解】，则等价于若显然上面方程不成立；当，则可化为易知和都关于中心对称，如下图所示，在上有8个交点，不妨设其横坐标依次为，则，即所有零点之和为8.故答案为：8【点睛】本题考察函数与方程零点问题，属于压轴题.关键在于利用函数的性质，找到其对称中心及区间内的零点个数. 四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）已知向量，不共线，向量，，，若A，，三点共线，求实数的值；（2）已知，，，求．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由向量加法运算求得，然后由向量共线定理得结论；（2）由已知结合数量积运算求得，再由，转化为数量积运算后可得结论．【详解】（1）由题意，又，A，，三点共线，则共线，所以存在常数，使得，即，而向量，不共线，所以，解得；（2）由已知，故，所以，则．18.已知．（1）化简；（2）已知，求的值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的诱导公式结合同角的三角函数关系化简，即可得答案.（2）利用二倍角正弦公式，结合齐次式法求值，可得答案.【小问1详解】由题意得.【小问2详解】由，可得，则.19.已知函数．（1）求的最小正周期及对称中心；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）最小正周期是，对称中心是，；（2）．【解析】【分析】（1）由两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化简函数式为一个的角一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质得最小正周期和对称中心；（2）求出在上的最小值，题设不等式化为恒成立，不大于这个最小值，从而可得的范围．【小问1详解】 ，所以的最小正周期为，令，则，∴的对称中心为，；【小问2详解】时，，∴，即时，，即，，则恒成立，∴，∴．20.如图，在正中，，分别是，上的一个三等分点，分别靠近点，点，且，交于点．（1）用，表示；（2）求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）设，用表示出，然后由向量共线得方程组，解之可得．（2）计算可得证．【小问1详解】设，则，同理， 又由已知得，，因为与不共线，与共线，与共线，所以，解得，所以；【小问2详解】设正边长为，则，由（1），所以，即．21.某企业一天中不同时刻的用电量（万千瓦时）关于时间（小时）的函数近似满足（，，）．如图是函数的部分图象对应凌晨0点）．（1）根据图象，求，，，的值；（2）由于当地冬季雾霾严重，从环保的角度，既要控制火力发电厂的排放量，电力供应有限，又要控制企业的排放量，于是需要对各企业实行分时拉闸限电措施．已知该企业某日前半日能分配到的供电量（万千瓦时）与时间（小时）的关系可用线性函数模型（）拟合．当供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．初步预计这一时刻处在中午11点到12点间，为保证该企业即可提前准备应对停产，又可尽量减少停产时间，请从这个初步预计的时间段开始，用二分法将这一时刻所处的时间段精确到15分钟．【答案】（1）,,, （2）【解析】【分析】（1）根据函数图象，结合函数的周期，以及最值即可求得参数；（2）由（1）可得函数解析式，令，判断其单调性，结合零点存在定理，即可判断停产时刻的范围，利用二分法即可求得答案.【小问1详解】由函数图象知，∴，，，代入，得，则,又,综上，,,,.【小问2详解】由（1）知,令，设，则为该企业的停产时间．当时，，则在上单调递增，而（）为减函数，故在上是单调递增函数．由，又，则，即11点到11点30分之间（大于15分钟），又，则，即11点15分到1点30分之间（正好15分钟），故估计在11点15分到11点30分之间的时间段停产． 22.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）当时，关于的方程有实根，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角余弦公式集合辅助角公式化简可得的表达式，根据正弦函数性质即可求得答案；（2）将原问题转化为当时，或有实根问题，结合x的范围，确定的范围，解不等式即可得答案.【小问1详解】由题意得，由，得，故的单调递增区间为．【小问2详解】∵当时，有实根，∴当时有实根，所以或有实根，因为，则，故，故或，故m的取值范围为.