湖南省益阳市2022-2023学年高三下学期4月月考数学Word版含解析.docx

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2022-2023学年湖南省益阳市高三年级下学期4月教学质量检测数学试卷1.若复数z满足z(3+4i)=5i，则|z|=()A.B.C.1D.52.已知集合A={x|−2≤x<7}，B={x|≥1}，则A∩∁RB为()A.{x|−2≤x<7}B.{x|−2≤x<0或2b>0)的焦点为F1(−c,0)，F2(c,0)，直线x=c与椭圆C相交于A、B两点，当三角形ABF1为直角三角形时，椭圆C的离心率e等于()A.B.2−1C.3−1D. 6.金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为183，现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是()A.18πB.92πC.6πD.6π7.已知a=(2+1)e2−1，b=(3+2)e3−2，c=2+2，则下列结论正确的是()A.a0，则下列选项正确的是()A.P(A∪B|C)≤P(A|C)+P(B|C)B.若P(A)>0，P(B)>0且A，B互斥，则A，B不可能相互独立C.若P(A|C)+P(B|C)=1，则A，B互为对立事件D.若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则A，B，C两两独立10.如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且BC=2AB=2，BF∩AE=O，现将△ABE沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是()A.CF⊥OPB.存在点P，使得PE//CFC.存在点P，使得PE⊥EDD.三棱锥P−AED的体积最大值为11.如图，有一列曲线Ω1，Ω2，⋯，Ωn，⋯，且Ω1是边长为6的等边三角形，Ωi+1是对Ωi(i=1,2,⋯)进行如下操作而得到：将曲线Ωi的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角 形，再将中间部分的线段去掉得到Ωi+1，记曲线Ωn(n=1,2,⋯)的边长为an，周长为cn，则下列说法正确的是()n−2A.an=2⋅()B.c5=C.在Ω3中OA⋅OC=OD⋅OCD.在Ω3中OB⋅OC=4012.定义在{0,+∞)上的函数g(x)的导函数为g′(x)，xg′(x)>g(x)，∀x1，x2∈(0,+∞)(x1≠x2)，则下列不等式中一定成立的是()A.g(x1x2)g(x1)+g(x2)C.g()g(x1)+g(x2)13.已知向量a=(2,4)，b=(−1,m)，且a⋅b=10，则m=__________.14.甲乙两人要在一排六个空座上就坐，求甲乙中间有空位的概率为__________.15.过抛物线y2=6x的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若AF=3FB，O为坐标原点，则三角形OAB的面积为__________.8x,0≤x≤16.已知函数f(x)=，若存在实数x1，x2x3满足0≤x10,b>0)的上、下焦点，其中F1坐标为(0,2)点M(3,2)是双曲线C1上的一个点.(1)求双曲线C1的方程;(2)已知过点P(4,1)的直线与C1:−=1(a>0,b>0)上支交于不同的A、B两点，在线段AB上取点Q，满足|AP|⋅|QB|=|AQ|⋅|PB|，证明：点Q总在某条定直线上.22.已知函数f(x)=x2−1，g(x)=2axlnx.(1)若f(x)≥g(x)对x∈[1,+∞)成立，求实数a的取值范围;hhhh(2)若a∈[,]，函数ℎ(x)=存在两个极值点x1，x2(x12}，因此，A∩(∁RB)={x|−2x<7}∩{x|x0或x>2}={x|−2x0或21时，g(x)=ln(e2x+1)−2x1时，ln(e2x+1)−x1时，f(x)1时，ℎ(x)=单调递减，lnh所以所以x>1时，f(x)=，在x→+∞单调递增错误，B错误.故选A.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了求椭圆的离心率，属基础题.【解答】解：将x=c代入椭圆方程+=1(a>b>0)，可得y=±，则|AB|=，22当三角形ABF1为直角三角形时，由F1F2=AB，得2c=，即2ac=a−c，亦即2e=1−e2，解得e=2−1.6.【答案】D【解析】【分析】本题考查棱锥的表面积、球的体积，属于基础题.【解答】解：由题可知，最大球即为其内切球；如图，设底面ABCD中心为O，连接CO，EO，由几何关系知，在ΔEBC中BC边上的高=32−()2=，又EO=−=，设内切圆半径为r由等面积法可知：⋅=⋅r，解得r= 3则内切球体积为V=π()=6π.7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了比较数的大小，属于中档题.【解答】解：因为a=(2+1)e2−1>0，b=(3+2)e3−2>0，22−3−1所以==e<1，所以a0时，x>1，所以f(2)>f(1)=0，即e2−2e>0，可得e2−1>2，即>1所以a>c.故选C.8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的对称性，涉及两点间的距离公式、求直线方程，属较难题.【解答】解：∵y=x3−3x2+4x−1=(x−1)3+(x−1)+1，∴曲线y=x3−3x2+4x−1的对称中心为(1,1)，由|DE|=|EF|=5，可知点E为对称中心，故E的坐标为(1,1)，不妨设D(x,x3−3x2+4x−1)，则由|DE|=5，得(x−1)2+(x3−3x2+4x−2)2=5，即(x−1)2+[(x−1)3+(x−1)]2=5， 令x−1=t，则t2+(t3+t)2=5⇒t6+2t4+2t2−5=0，即t6−t4+3t4+2t2−5=0⇒t4(t2−1)+(3t2+5)(t2−1)=0，∴(t2−1)(t4+3t2+5)=0，∴t=±1.当t=1时，x=t+1=2，A(2,3).又l过E(1,1)，∴直线l的方程为y=2x−1，当t=−1时，x=t+1=0，A(0,−1).又l过E(1,1)，直线l的方程为y=2x−1.综上，直线l的方程为y=2x−1.9.【答案】AB【解析】【分析】本题考查对立事件、互斥事件、独立事件、条件概率，属于基础题.【解答】对于A:①当A，B互斥时，P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)②当A，B不互斥时，P(A∪B|C)0，P(B)>0且A，B互斥，那么P(AB)=0≠P(A)P(B)，故A，B不可能相互独立；对于C，由P(A|C)+P(B|C)=1，并不能得出A与B是对立事件;对D，若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则事件AB与C相互独立，但推导不出A，B，C两两独立，故D错误;10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查了空间线线位置关系，锥体体积，属于基础题.【解答】解：由已知可得，，所以故A正确；因为，若，则，不存在，故B错误；因为，当时，，可得，故C正确；当时，取最大值，此时，，所以，故D正确.11.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查了推理案例、向量的数量积的运算、等比数列等知识，属较难题.【解答】 解：根据题意将曲线Ωi的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到Ωi+1，记曲线Ωn(n=1,2,⋯)的边长为an，n−1n−2数列{an}是首项为6，公比为的等比数列an=6×=2⋅()，故A正确;封闭曲线Ωn(n=1,2,⋯)的周长为cn，则数列{cn}是首项为c1=18，公比为的等比数列，=18×()n−1=18×()5−1=所以cn，则c5，故B错误;由题知OA=6，∠OAC=90∘，可求得AC=23，2则OC=OA+AC，于是OA⋅OC=OA⋅(OA+AC)=OA=36，又∠OCD=30∘，OC=43，CD=2，OD=OC+CD，2则OD⋅OC=(OC+CD)⋅OC=OC+OC⋅CD=48−12=36，故C正确；∘由题知∠OAB=90，AB=，OB=OA+AB，结合C可知，AC=3AB，则OB⋅OC=OA+AB⋅OA+AC=OA+AB⋅OA+3AB222=OA+3AB=36+3×=40，故D正确.12.【答案】BD【解析】【分析】本题考查抽象函数单调性，属于中档题.【解答】hhh解：由题意可设F(x)=，则F′(x)=，∴F′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，则F(x)在(0,+∞)上单调递增，对于A:取g(x)=x2，满足xg′(x)>g(x)，但g(xx)=g(x)g(x)；1212hh对于B:∵x1+x2>x1，∴F(x1+x2)>F(x1)，即>，∴g(x1+x2)>g(x1)①，hh∵x1+x2>x2，∴F(x1+x2)>F(x2)，即>，∴g(x1+x2)>g(x2)②，由①+②得g(x1+x2)>g(x1)+g(x2)，故B正确;22对于C:取g(x)=x，则g()=()，g(x1x2)=x1x2，g()−g(x1x2)>0，故C错误对于D:∵g(x1)−g(x1)=g(x1)①，g(x2)−g(x2)=−g(x2)②， 由①-②得hhg(x1)−g(x1)−g(x2)+g(x2)=g(x1)+g(x2)=(x1−x2)(−)>0，∴g(x1)+g(x2)>g(x1)+g(x2)，故D正确，故选BD13.【答案】3【解析】【分析】本题考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题.【解答】解：因为a⋅b=10，所以−2+4m=10，可得m=3.14.【答案】【解析】【分析】本题考查了古典概型及其计算，涉及排列问题，属基础题.【解答】解：甲乙两人要在一排六个空座上就坐，则有A2=30种坐法，6而甲乙一定相邻的坐法有5A2=10种坐法，2则甲乙中间有空位的概率为P==.15.【答案】33【解析】【分析】本题考查直线与抛物线位置关系，属于基础题.【解答】解：由题可知F=，设直线l方程为x=my+，A(xA,yA),B(xB,yB)，x=my+联立方程可得：，消去x可得：y2−6my−9=0，y2=6x故|yAyB|=9，又=3，可得：|yA|=33,|yB|=3，所以S△OAB=⋅|OF|⋅(|yA|+|yB|)=××43=33. 16.【答案】[,1+)【解析】【分析】本题考查了利用导数求最值，属于拔高题.【解答】解：由题意，函数f(x)的大致图象如图所示，由图象知，x2∈[,1);由x2，x3关于x=1对称，可得x3=2−x2，由8x1=4cos2πx2，可得x1=cos2πx2，那么x2x3+x1=x2(2−x2)+cos2πx22构造新函数g(x)=−x+2x+cos2πx，x∈[,1)则g′(x)=−2x+2−2sin2πx，x∈[,1),则g′′(x)=−2−4πcos2πx，在区间[,1)单调递减，g′′()<0，即在区间[,1),g′′(x)<0,所以g′(x)=−2x+2−2sin2πx在区间[,1)单调递减，又因为g′(1)=−2+2−2sin2π=0，所以在区间[,1)g′(x)=−2x+2−2sin2πx>02所以在区间[,1),g(x)=−x+2x+cos2πx单调递增，因为g()=，g(1)=1+，所以x2x3+x1的取值范围为[,1+) 17.【答案】解：(1)选择①:由正弦定理，sinCcos=sinAsinC，因为sinC>0，所以cos=sinA，即cos=2sincos，因为0<<，所以cos>0，所以sin=，所以=，即A=sinn选择②:=3c⇒asinC=3c−3ccosA，cos由正弦定理，sinAsinC=3sinC−3sinCcosA，因为sinC>0，所以sinA=3−3cosA，即sin(A+)=，因为00，sinC>0，所以0===−，依题意可知，二面角A−BF−M的余弦值为【解析】本题考察了空间线线垂直的，利用空间向量求二面角，属于中档题.20.【答案】解：(1)由题意可得(0.0025+0.005+0.0175+m+0.01)×20=1，解得m=0.015，㔸㔸R学生期中考试数学成绩的上四分位数为：110+20×=分；㔸(2)数学成绩优秀的有100×50%=50人，不优秀的人100×50%=50人，经常整理错题的有100×(40%+20%)=60人，不经常错题的是100−60=40人，经常整理错题且成绩优秀的有50×70%=35人，则数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理352560不经常整理152540合计5050100零假设为H0:数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，2h根据列联表中的数据，经计算得到可得χ==>3.841， 根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；(3)由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，则X=0，1，2，nn(k=0,1,2)，P(A)=经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件Akkn参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到m人记为事件Bm(m=0,1,2)2则P(B0|A0)=1，P(B0|A1)=，P(B0|A2)=()=，P(B1|A1)=，12P(B1|A2)=C2×=，P(B2|A2)=()=，P(X=0)=P(A0)⋅P(B0|A0)+P(A1)⋅P(B0|A1)+P(A2)⋅P(B0|A2)nnnn=×1+×+×=，nnnP(X=1)=P(A1)⋅P(B1|A1)+P(A2)⋅P(B1|A2)nnn=×+×=，nnnP(X=2)=P(A)⋅P(B|A)=×222n=，故X的分布列如下：X012P则可得X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×=0.7.【解析】本题考查了求百分位数、独立性检验、离散型随机变量的分布列与均值，属较难题.21.【答案】解(1)由F坐标为(0,2)得a2+b2=4，1点M(3,2)在双曲线C1上得−=1a2=1可以解得，双曲线方程为y2−=1.b2=3(2)设直线与双曲线交于A(x1,y1)，B(x2,y2)点Q(x,y)，㘶o由|AP|⋅|QB|=|AQ|⋅|PB|得==λ(λ>0且λ≠1)，AP=−λPB，AQ=λQB，㘶o代入坐标得：(4−x1,1−y1)=λ(x2−4,y2−1),(x−x1,y−y1)=λ(x2−x,y2−y)，整理得：x1−λx2=4(1−λ)①,x1+λx2=x(1+λ)②得x2−λ2x2=4x(1−λ2)③12同理y1−λy2=1−λ,④，y1+λy2=y(1+λ)⑤得y2−λ2y2=y(1−λ2)⑥12 由于双曲线C上的点满足3y2−x2=31⑥×3−③得3y2−x2−λ2(3y2−x2)=(3y−4x)(1−λ2)1122即3−3λ2=(3y−4x)(1−λ2)有3y−4x=3表示点Q(x,y)在定直线4x−3y+3=0上【解析】本题考查双曲线中的定直线问题，双曲线方程，属于中档题.22.2【答案】解：(I)由f(x)≥g(x)对x≥1恒成立可知：x−1≥2axlnx，即x−−2alnx≥0;令ℎ(x)=x−−2alnx，ℎ′(x)=1+−=;当a≤1时，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)单调递增，ℎ(x)≥ℎ(1)=0;当a>1时，令ℎ′(x)=0得x1=a−a2−1，x2=a+a2−1，且00，x∈(x1,x2)时ℎ′(x)<0，x∈(x2,+∞)时ℎ′(x)>0，所以x∈(1,x2)有ℎ(x)单调递减，ℎ(x)<ℎ(1)=0，与题设矛盾，不成立;所以实数a的取值范围为a≤1;(Ⅱ)由题知：ℎ(x)=x−−2alnx，由(1)可知a∈[,]，ℎ(x)有两个极值点x1，x2，则x1+x2=2a，x1x2=1，hhlnlnh∴=hln==2+ln=2+ln⋅2h令t=，则4a==++2，由a∈[,]，可知3≤t≤9，ooolno设F(t)=2+lnt，则F′(t)=−oooh设r(t)=t2−1−2tlnt，则r′(t)=2(t−lnt−1)，而(t−lnt−1)′=1−>0，r′(t)单调递增，可知r′(t)>r′(3)>0，o∴r(t)单调递增，可知r(t)>r(3)>0，∴F′(t)<0，可知F′(t)单调递减，可知M=Fmax(t)=F(3)，m=Fmin(t)=F(9)，M−m=F(3)−F(9)=ln3.【解析】本题考查了导数的综合应用，属于中档题.